Với hai biến cố xung khắc \(A\) và \(B\), ta có công thức tính xác suất của biến cố hợp như sau

Đáp án đúng là: A

Ta có \[C = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{2}}} - {a^{\frac{4}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {a - {a^{\frac{5}{6}}}} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}} \cdot {a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} - 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{5}{6}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} - 1} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{4}{3} + \frac{3}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4} + \frac{5}{6}}}}} = \frac{{{a^{\frac{{25}}{{12}}}}}}{{{a^{\frac{{13}}{{12}}}}}} = {a^{\frac{{25}}{{12}} - \frac{{13}}{{12}}}} = a\].

Gọi \({A_i}\) là biến cố “Người thứ i bắn trúng” với \(i = 1,2,3\).

Ta có các \({A_i}\) độc lập với nhau và \(P\left( {{A_1}} \right) = x;P\left( {{A_2}} \right) = y;P\left( {{A_3}} \right) = 0,6\).

Gọi \(A\) là biến cố “Ít nhất một trong ba xạ thủ bắn trúng”, \(B\) là biến cố “Ba xạ thủ đều bắn trúng”, \(C\) là biến cố “Có đúng hai xạ thủ đều bắn trúng”.

Theo đề bài, ta có \(P\left( A \right) = 0,976;\,\,P\left( B \right) = 0,336\).

Ta có \(\overline A \) là biến cố “Không có xạ thủ bắn trúng”.

Suy ra \(\overline A = \overline {{A_1}} \overline {{A_2}} \overline {{A_3}} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {\overline {{A_2}} } \right) \cdot P\left( {\overline {{A_3}} } \right) = \left( {1 - x} \right) \cdot \left( {1 - y} \right) \cdot 0,4\).

Lại có \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right) = \frac{3}{{50}} \Leftrightarrow xy - x - y = - \frac{{47}}{{50}}\) (1)

Tương tự ta có \[B = {A_1}{A_2}{A_3}\]

\[ \Rightarrow P\left( B \right) = P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {{A_2}} \right) \cdot P\left( {{A_3}} \right) = x \cdot y \cdot 0,6 = 0,336 \Rightarrow xy = \frac{{14}}{{25}}\] (2)

Từ (1), (2) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{3}{2}\\xy = \frac{{14}}{{25}}\end{array} \right.\).

Ta có \(C = \overline {{A_1}} {A_2}{A_3} + {A_1}\overline {{A_2}} {A_3} + {A_1}{A_2}\overline {{A_3}} \)

\( \Rightarrow P\left( C \right) = \left( {1 - x} \right)y \cdot 0,6 + x\left( {1 - y} \right) \cdot 0,6 + xy \cdot 0,4 = 0,6\left( {x + y} \right) - 0,8xy = 0,452.\)