Cho tứ diện \[OABC\] có \[3\] cạnh \[OA\], \[OB\], \[OC\] đôi một vuông góc. Gọi \[H\] là chân đường vuông góc hạ từ \[O\] tới \[\left( {ABC} \right)\] thì: 

(1,5 điểm) Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = a\sqrt 5 \), đáy là tam giác vuông tại \(A\) với \(AB = a\), \(AC = 2a\). Dựng \(AK\) vuông góc \(BC\) và \(AH\) vuông góc \(SK\).

a) Chứng minh \(BC \bot AH\).

b) Chứng minh đường thẳng \(AH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

c) Tính tan góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

(1,0 điểm) Hộp A đựng 5 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 5, hộp B đựng 6 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 6, hai thẻ khác nhau ở mỗi hộp đánh hai số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên từ hộp A một tấm thẻ và từ hộp B hai tấm thẻ. Gọi \(X\) là biến cố: “Chọn được thẻ mang số lẻ từ hộp A”, \(Y\) là biến cố: “Chọn được thẻ mang số chẵn từ hộp A”, và \(Z\) là biến cố: “Chọn được hai thẻ mang số lẻ từ hộp B”. Tính xác suất để tích số được ghi trên ba tấm thẻ thu được là số chẵn.

III. Lời giải chi tiết tự luận

(1,5 điểm)

1. Cho \({\log _a}x = 4\) và \[{\log _b}x = 6\] với \(a,b\) là các số thực lớn hơn \(1\). Tính \(P = {\log _{ab}}x\).

2. Anh Toàn được tuyển dụng vào một công ty đầu năm 2013. Công ty trả lương cho anh theo hình thức: Lương khởi điểm anh nhận là 6 triệu đồng / tháng và cứ sau 3 năm công ty lại tăng lương cho anh thêm 25% số lương đang hưởng. Hỏi hiện nay (năm 2024) anh đang được hưởng lương bao nhiêu triệu đồng một tháng (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?