Tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)\).        

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\].

Ta lại có \[\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\].

Với \(T = 2000\) năm và khối lượng chất phóng xạ còn lại nhỏ hơn \(\frac{1}{5}\) khối lượng chất phóng xạ ban đầu, ta có:

\(m\left( t \right) = {m_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{{\rm{2000}}}}}} < \frac{1}{5}{m_0}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{{\rm{2000}}}}}} < \frac{1}{5}\)

\( \Leftrightarrow \frac{t}{{{\rm{2000}}}} > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\frac{1}{5}} \right)\)

\( \Leftrightarrow t > 2\,000 \cdot {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\frac{1}{5}} \right) = 4\,643,85619\)

Vậy cần ít nhất 4 644 năm thì khối lượng chất phóng xạ còn lại nhỏ hơn \(\frac{1}{5}\) khối lượng chất phóng xạ ban đầu.