Cho ba đường thẳng đôi một phân biệt \(y = x + 2\) \(\left( {{d_1}} \right)\); \(y = 2x + 1\) \(\left( {{d_2}} \right)\); \(y = \left( {{m^2} + 1} \right)x + m\) \(\left( {{d_3}} \right)\) (với \(m\) là tham số). Giá trị của \(m\) để ba đường thẳng nói trên cùng đi qua một điểm là

a)Học sinh vẽ đúng hình để làm được ý a)

Vì \(AH \bot BC\) nên \(\widehat {IHC} = 90^\circ \)

\(\widehat {BDC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {BDC} = 90^\circ \)

Ta có: \(\widehat {IHC} + \widehat {BDC} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \)

Vậy tứ giác \(IHCD\) nội tiếp.

b)Ta có:  \(\left( 1 \right)\)

\(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) \( \Rightarrow \widehat {BAI} + \widehat {ABC} = 90^\circ \) \(\left( 2 \right)\)

\(\widehat {BAC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \widehat {ACB} + \widehat {ABC} = 90^\circ \) \(\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\); \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) \( \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {ADB}\)

Xét \(\Delta BAI\) và \(\Delta BDA\) có: \(\widehat {ABD}\) chung; \(\widehat {BAI} = \widehat {ADB}\)

 (g-g) \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BI}}{{AB}}\)\( \Rightarrow A{B^2} = BI \cdot BD\)

c)Do \(BM = AB\), mà \(\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BI}}{{AB}}\) nên \(B{M^2} = BI \cdot BD\)\( \Rightarrow \frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{BI}}{{BM}}\)

Xét \(\Delta BMI\) và \(\Delta BDM\) có: \(\widehat {DBM}\) chung; \(\frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{BI}}{{BM}}\)

 (c-g-c) \( \Rightarrow \widehat {BMI} = \widehat {BDM}\)

\( \Rightarrow BM\) là tiếp tuyến tại \(M\) của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta MID\)

Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta MID\) thuộc đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại \(M\)

Do \(A\); \(B\); \(C\) cố định nên \(M\) cố định và đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại \(M\) cố định

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta MID\) luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi \(D\) thay đổi trên cung nhỏ \(AC\).

Gọi số hàng ghế lúc đầu trong phòng họp là \(x\) (\(x\) nguyên dương)

Số ghế trong một hàng lúc đầu là \(\frac{{165}}{x}\)

Số hàng ghế trong phòng họp khi họp là \(x + 1\)

Số ghế trong một hàng khi họp là \(\frac{{208}}{{x + 1}}\)

Theo đề bài, ta có phương trình \(\frac{{208}}{{x + 1}} - \frac{{165}}{x} = 2\)

Biến đổi phương trình ta được: \(2{x^2} - 41x + 165 = 0\)

Giải phương trình, ta được: \({x_1} = 15\) (thỏa mãn); \({x_2} = 5,5\) (loại)

Vậy lúc đầu phòng họp có \(15\) hàng ghế và mỗi hàng có \(\frac{{165}}{{15}} = 11\) ghế.