(2,5 điểm)

Hai dung dịch có khối lượng tổng cộng là \(220\)gam. Lượng muối trong dung dịch \(X\) là \(5\)gam, lượng muối trong dung dịch \(Y\) là \(4,8\) gam. Biết nồng độ muối trong dung dịch \(X\) nhiêu hơn nồng độ muối trong dung dịch \(Y\) là  \(1\% \) . Tính khồi lượng mỗi dung dịch nói trên?

Gọi thời gian làm riêng hoàn thành công việc của đội \(A\) là \(x\) (ngày),\(\left( {x > 0} \right)\);

Thời gian làm riêng hoàn thành công việc của đội \(B\) là \(y\)  (ngày), \(\left( {y > 0} \right)\).

Ta có mỗi ngày đội \[A\] làm được \(\frac{{\rm{1}}}{x}\) công việc; mỗi ngày đội \[B\] làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.

Vì hai đội công nhân cùng làm một công việc trong \[24\] ngày thì xong nên mỗi ngày hai đội làm được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{24}}\) (công việc).

Vì đội \[A\] làm trong \[10\] ngày và đội \[B\] làm trong \[12\] ngày thì được \(\frac{9}{{20}}\) công việc nên ta có phương trình: \(\frac{1}{x}.10 + \frac{1}{y}.12 = \frac{9}{{20}}\).

Vậy ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{24}}\\\frac{{10}}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{9}{{20}}\end{array} \right.\). Giải hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{40}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{60}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 60\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Vậy đội \[A\] làm riêng hoàn thành công việc trong \[40\] ngày, đội \[B\] làm riêng hoàn thành công việc trong \[60\] ngày.

Xét phương trình: \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - m - 3 = 0\) (1).

(1) có \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 1.\left( { - m - 3} \right) = {m^2} - 2m + 1 + m + 3 = {m^2} - m + 4 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0\) với mọi \(m\)Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Với mọi \(m\) phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\).

Theo hệ thức Vi-et, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} =  - m - 3\end{array} \right.\] .

\( \Rightarrow A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left[ {2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 2\left( { - m - 3} \right) = 4{m^2} - 8m + 4 + 2m + 6 = 4{m^2} - 6m + 10\) \( = {\left( {2m - \frac{3}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + 10 = {\left( {2m - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} \ge \frac{{31}}{4}\) với mọi \(m\).

Vậy \(\min A = \frac{{31}}{4}\) khi \(m = \frac{3}{4}\).