(1,5 điểm) Cho hai biểu thức: A= $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$ và B = $\frac{5}{\sqrt{x}-2}- \frac{16+2\sqrt{x}}{x-4}$ với $x \ge 0$, x khác 4

1) . Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9\).

2) . Chứng minh \(B = \frac{3}{{\sqrt x  + 2}}\).

 3) . Tìm giá trị nguyên lớn nhất của \(x\) để \(5A + B \le 3\).

1)     Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9\).

Thay \(x = 9\)(tmđk) vào biểu thức \(A\) ta được

                                              \(A = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt 9  + 2}} = \frac{3}{5}\)

2)     Chứng minh \(B = \frac{3}{{\sqrt x  + 2}}\).  với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\) ta có:

             \(B = \frac{5}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{{16 + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

            \(B = \frac{{5\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \frac{{16 + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

            \(B = \frac{{3\sqrt x  - 6}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

               \(B = \frac{3}{{\sqrt x  + 2}}\)

a.      Tìm giá trị nguyên lớn nhất của \(x\) để \(5A + B \le 3\).

            Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\) ta có: \(5A + B = \frac{{5\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 2}}\)

                              Để \(5A + B \le 3\) khi  \(\frac{{5\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 2}} \le 3\)

                                                           \(\frac{{5\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 2}} - 3 \le 0\)

                                                           \(\frac{{5\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{3\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  + 2}} \le 0\)

                                                              \(\begin{array}{l}\frac{{5\sqrt x  + 3 - 3\sqrt x  - 6}}{{\sqrt x  + 2}} \le 0\\\frac{{2\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 2}} \le 0\\0 \le x \le \frac{9}{4}\end{array}\)

                 Vậy giá trị nguyên lớn nhất của x thỏa mãn yêu cầu là \(x = 2\).