(4,0 điểm)

Một thùng lấy nước bằng tôn có dạng hình trụ có chiều cao là \[36cm\] và đường kính đáy là \[3dm\].

a) Tính thể tích của thùng nước đó. (làm tròn đến hàng đơn vị)

b) Người ta sử dụng thùng nước trên để múc nước đổ vào một bể chứa có dung tích \(1\;{m^3}.\)Hỏi cần phải đổ ít nhất bao nhiêu thùng thì mới đầy bể chứa? Biết rằng mỗi lần xách người ta chỉ đổ đầy \(90{\rm{\% }}\) thùng để nước không đổ ra ngoài.

2a) Chứng minh bốn điểm \(M,N,C,\,E\) cùng thuộc một đường tròn

Lập luận \(\widehat {ENC} = 90^\circ \)

Lập luận \(\widehat {EMC} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {ENC} = \widehat {EMC} = 90^\circ \)

Suy ra M; N cùng thuộc đường tròn đường kính CE hay 4 điểm M: N; C; E cùng thuộc một đường tròn đường kính CE.

2b) Chứng minh \(KI.KM = KC.KD\) và \(NE\) là tia phân giác của góc \(MNI.\)

Có \(\widehat {KIC}{\rm{ = 18}}{{\rm{0}}^0} - \widehat {CIM}{\rm{  = }}\widehat {CDM}\)( vì tổng các góc đối nhau của tứ giác nội tiếp CIMD bằng 1800)

Xét \(\Delta KIC\) và \(\Delta KDM\) có:

\(\widehat K{\rm{ chung; }}\widehat {KIC} = \widehat {KDM}\) (cmt)

Chứng minh: \(NE\) là tia phân giác của \(\widehat {MNI}\).

Xét \(\Delta CDE\) có: \(CM \bot DE;EN \bot CD\) và \(CM{\rm{ giao }}EN\) tại \(F\)

\[ \Rightarrow F\] là trực tâm \(\Delta CDE\)

\( \Rightarrow DF \bot CE\) tại \(I\) (\(DF\) cắt \(CE\) tại \(I\) ) hay \(DI \bot CE\) tại \(I\).

\( \Rightarrow \widehat {DIC} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow I\) thuộc đường tròn tâm \(O\), đường kính \(CD\)

Xét  tứ giác \(CIFN\) có:

\[\widehat {CIF} + \widehat {CNF} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \]

Mà hai góc đối nhau trong tứ giác

Nên tứ giác \(CIFN\) nội tiếp đường tròn

\( \Rightarrow \widehat {ICF} = \widehat {INF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn  )

Chứng minh được tứ giác \[FMDN\] nội tiếp

\( \Rightarrow \widehat {FNM} = \widehat {FDM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn  )

Mà \(\widehat {ICM} = \widehat {IDM}\) (góc nội tiếp cùng chắn  của đường tròn \((O)\))

Hay \(\widehat {ICF} = \widehat {FDM}\)

\( \Rightarrow \widehat {INF} = \widehat {FNM}\)

\( \Rightarrow NF\) là tia phân giác của \(\widehat {MNI}\)\( \Rightarrow NE\) là tia phân giác của \(\widehat {MNI}\)

2c) Chứng minh rằng: \[\frac{{KC}}{{K{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{DN}}\]

Chứng minh được

Mà \(\frac{{KC}}{{KM}} = \frac{{CI}}{{DM}}\)( Vì )
nên \[\frac{{KC}}{{K{\rm{D}}}} = \frac{{KC}}{{KM}}.\frac{{KM}}{{KD}} = \frac{{CI}}{{DM}}.\frac{{CM}}{{DI}}\] (1)

Tương tự, \[\frac{{CN}}{{CE}} = \frac{{CI}}{{C{\rm{D}}}}\] và \[\frac{{DN}}{{DE}} = \frac{{DM}}{{C{\rm{D}}}}\]

Do đó, \[\frac{{CN}}{{DN}} = \frac{{CI}}{{DM}}.\frac{{CE}}{{DE}}\]    (2)

Chứng minh được \[\frac{{EC}}{{ED}} = \frac{{CM}}{{DI}}\]  (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra \[\frac{{KC}}{{K{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{DN}}\]