Từ hình vuông đầu tiên, bạn Hùng vẽ hình vuông thứ hai có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông thứ nhất, vẽ tiếp hình vuông thứ ba có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông thứ hai và cứ tiếp tục như vậy (xem hình minh họa bên). Giả sử hình vuông thứ bảy có diện tích bằng 32 \(c{m^2}\). Tính diện tích hình vuông thứ năm.

Nhận xét:

Xét hình vuông \(ABCD\), gọi \(E,{\rm{ }}F,{\rm{ }}G,{\rm{ }}H\) lần lượt là trung điểm \(AB,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}DA\).

Khi đó hình vuông \[EFGH\] có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông \(ABCD\)

Dễ dàng nhận thấy\(\Delta AEH = \Delta BEH = \Delta CGF = \Delta DGH = \Delta OEH = \Delta OEF = \Delta OGF = \Delta OHG\) (c – c – c) (hoặc trường hợp hai cạnh góc vuông)

Do đó \({S_{ABCD}} = 8.{S_{\Delta OHG}}\), \({S_{EFGH}} = 4.{S_{\Delta OHG}}\)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{EFGH}}\)

Quay lại bài toán, gọi \({S_1};{\rm{ }}{S_2};{\rm{ }}{S_3};{\rm{ }}{S_4};{\rm{ }}{S_5};{\rm{ }}{S_6};{\rm{ }}{S_7}\) lần lượt là điện tích của các hình vuông \(1;{\rm{ 2}};{\rm{ }}3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6;{\rm{ }}7\)

Theo nhận xét, ta có: Diện tích hình vuông bất kì bằng hai lần diện tích hình vuông có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông đã cho.

Do đó ta có:

\({S_5} = 2{S_6} = 2.2{S_7} = 4{S_7} = 4.32 = 128\) \(\left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy diện tích hình vuông thứ 5 là 128 \(c{m^2}\)

Cách khác:

Nhận xét:

Xét hình vuông \(ABCD\) có cạnh là \(a\). Gọi \(E,{\rm{ }}F,{\rm{ }}G,{\rm{ }}H\) lần lượt là trung điểm \(AB,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}DA\).

Khi đó hình vuông \[EFGH\] có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông \(ABCD\).

\(EF = \sqrt {B{E^2} + B{F^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{BA}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}\)

Khi đó \(\frac{{{S_{ABCD}}}}{{{S_{EFGH}}}} = \frac{{A{B^2}}}{{E{F^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{\frac{{{a^2}}}{2}}} = 2\)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{EFGH}}\).

Quay lại bài toán, gọi \({S_1};{\rm{ }}{S_2};{\rm{ }}{S_3};{\rm{ }}{S_4};{\rm{ }}{S_5};{\rm{ }}{S_6};{\rm{ }}{S_7}\) lần lượt là điện tích của các hình vuông \(1;{\rm{ 2}};{\rm{ }}3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6;{\rm{ }}7\)

Theo nhận xét, ta có: Diện tích hình vuông bất kì bằng hai lần diện tích hình vuông có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông đã cho.

Do đó ta có:

\({S_5} = 2{S_6} = 2.2{S_7} = 4{S_7} = 4.32 = 128\) \(\left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy diện tích hình vuông thứ 5 là 128 \(c{m^2}\)