Từ hình vuông đầu tiên, bạn Hùng vẽ hình vuông thứ hai có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông thứ nhất, vẽ tiếp hình vuông thứ ba có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông thứ hai và cứ tiếp tục như vậy (xem hình minh họa bên). Giả sử hình vuông thứ bảy có diện tích bằng 32 \(c{m^2}\). Tính diện tích hình vuông thứ năm.

a) Xét tứ giác \(ABOC\) có:

\(\widehat {ABO} = \widehat {ACO} = 90^\circ \) (\(AB\), \(AC\) lần lượt là tiếp tuyến tại \(B\), \(C\) của \(\left( O \right)\))

\( \Rightarrow \widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 180^\circ \)

Vậy tứ giác \(ABOC\) nội tiếp (Hai góc đối bù nhau)

b) Xét \(\Delta ABF\) và \(\Delta AEB\) có:

\(\widehat {BAF}\) là góc chung

\(\widehat {ABF} = \widehat {AEB}\)

Do đó \(\Delta ABF \sim \Delta AEB\) (g – g)

\[ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AF}} = \frac{{AE}}{{AB}}\] (tính chất hai tam giác đồng dạng)

\( \Rightarrow A{B^2} = AE.AF\)

c) Xét \(\left( O \right)\) có \(AB\), \(AC\) lần lượt là tiếp tuyến tại \(B\), \(C\) của \(\left( O \right)\), \(OA \cap BC = H\)

\( \Rightarrow OA \bot BC\) tại \(H\)

Xét \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\), đường cao \(BH\), ta có:

\(A{B^2} = AH.AO\)

Do đó \(AE.AF = AH.AO\) \(\left( { = A{B^2}} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AO}}{{AF}}\)

Xét \(\Delta AEO\) và \(\Delta AHF\), ta có:

\(\widehat {HAF}\) là góc chung

\(\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AO}}{{AF}}\)

Do đó \(\Delta AEO \sim \Delta AHF\) (c – g – c)

\( \Rightarrow \widehat {AEO} = \widehat {AHF}\) (Hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AHF} + \widehat {FHO} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

nên \(\widehat {AEO} + \widehat {FHO} = 180^\circ \) hay \(\widehat {FEO} + \widehat {FHO} = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác \(OHFE\) nội tiếp (Hai góc đối bù nhau)

\( \Rightarrow \widehat {HFE} + \widehat {HOE} = 180^\circ \) (Tính chất tứ giác nội tiếp)

Kéo dài \(AO\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(K\) (\(O\) nằm giữa \(A\) và \(K\)ta có:\(\widehat {KOE} + \widehat {HOE} = 180^\circ \)              

\( \Rightarrow \widehat {KOE} = \widehat {HFE}\) (Cùng bù \(\widehat {HOE}\))

Xét \(\left( O \right)\), ta có:

\(\widehat {EBC} = 90^\circ \) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

       \[ \Rightarrow EB \bot BC\]

Mặt khác, ta có:\( \Rightarrow OA \bot BC\) tại \(H\) (cmt)\( \Rightarrow AK \bot BC\)

Do đó: \(EB{\rm{ // }}AK\) (cùng vuông góc với \(BC\)) \( \Rightarrow \widehat {KOE} = \widehat {OEB}\) (Hai góc so le trong)

\( \Rightarrow \widehat {KOE} = \widehat {CEB}\)

Suy ra\(\widehat {HFE} = \widehat {CEB}{\rm{ }}\left( { = \widehat {KOE}} \right)\)

Xét \(\left( O \right)\), ta có: \(\widehat {BFE} = \widehat {BCE}\)

Trong \(\Delta EBC\) vuông tại \(B\), ta có: \(\widehat {BEC} + \widehat {BCE} = 90^\circ \)

Ta có:

\(\widehat {BFH} = \widehat {BFE} + \w\(HF\)idehat {HFE} = \widehat {BCE} + \widehat {BEC} = 90^\circ \)\( \Rightarrow HF \bot BI\) tại \(F\)

Xét \(\Delta BHI\) vuông tại \(H\), đường cao , ta có:

\(I{H^2} = IF.IB\) \(\left( 1 \right)\)

Xét \[\Delta IAF\] và \[\Delta IBA\], ta có:

\(\widehat {AIF}\) là góc chung

\(\widehat {IBA} = \widehat {IAF}\) (\(\widehat {IBA} = \widehat {BEF}\) cùng chắn cung \(BF\) của \(\left( O \right)\), \(\widehat {BEF} = \widehat {IAF}\)là hai góc so le trong của \(EB{\rm{ // }}AK\))

Vậy \[\Delta IAF \sim \Delta IBA\] (g – g)

\( \Rightarrow \frac{{IA}}{{IB}} = \frac{{IF}}{{IA}}\)

\( \Rightarrow I{A^2} = IF.IB\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow I{H^2} = I{A^2}\)

\( \Rightarrow IH = IA\) hay \(I\) là trung điểm \(AH\)