(4,0 điểm)

Trong chuyện ngụ ngôn La Phông ten, Cò mời Cáo đến ăn tiệc với món súp hảo hạng. Món súp đó Cò thường cho vào một cái bình hình trụ, có bán kính đáy là \[4\]\[cm\], chiều cao \[30\,\,cm.\] Nhưng khi Cáo đến Cò chỉ đổ súp sao cho phần súp trong bình đó cao \[10\,\,cm\]và mời Cáo dùng bữa.

a) Tính thể tích của phần súp mà Cò mời Cáo ăn.

b) Cổ của Cáo quá ngắn nên không thể lấy được súp, Cáo nhìn quanh và phát hiện ra nhà Cò có những viên sỏi hình cầu giống hệt nhau, bán kính là \[2\,\,cm.\] Cáo bèn cho từng viên sỏi vào bình súp đến khi súp dâng lên vừa đầy đến miệng bình rồi Cáo thảnh thơi ăn súp. Hỏi Cáo đã cho vào bình bao nhiêu viên bi.

a)     Do \[MA,MB\] là tiếp tuyến của nửa đương tròn (O) nên ta có \(\widehat {MAO} = \widehat {MCO} = {90^ \circ }\)

Suy ra  là tam giác vuông tại \(A\) và  là tam giác vuông tại \(C\)

Suy ra \[M,A,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[MO\] và \[M,C,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[MO\]

Do đó bốn điểm \[A,M,C,O\] cùng thuộc một đường tròn.

b)     Ta có \(\widehat {AMC} = \widehat {COB} = {60^ \circ }\) ( hai góc cùng bù với \(\widehat {AOC}\))

Diện tích hình quạt \(COB\) là \(\frac{{60}}{{360}}\pi  \cdot {R^2} = \frac{{\pi {R^2}}}{6}\)

Do \[MA,MC\]là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) nên \[MA = MC\]và \[OA = OC\]

Từ đó suy ra \[M\] thuộc đường trung trực của \[AC,O\] thuộc đường trung trực của \[AC\]

Nên \[MO\] vuông góc \[AC\]tại trung điểm \[E\] của \[AC\], suy ra \(\widehat {AEM} = {90^ \circ }\)

Suy ra  vuông tại \(E\), nên  nội đường tròn đường kính \[MA\]

Có \(\widehat {ADM} = 180 - \widehat {ADB} = {90^ \circ }\) ( do \(\widehat {ADB}\) chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ADB} = {90^ \circ }\)).

Suy ra \(\Delta ADM\) vuông tại \(D\), nên \(\Delta ADM\) nội đường tròn đường kính \[MA\]

Do đó tứ giác \(AMDE\) nội tiếp đường tròn đường kính \[MA\].

Xét tứ giác \(AMDE\) nội tiếp có :\(\widehat {ADE} = \widehat {AMO}\) (cùng chắn )

Xét tứ giác \(AMCO\) nội tiếp có :\(\widehat {AMO} = \widehat {ACO}\) (cùng chắn )

Suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {ACO}\).

c)     Gọi \(K\) là giao điểm của \(MB\) và \(CH\).

Do \(CH//AM\) nên theo định lí Thales  thì \(\frac{{HK}}{{AM}} = \frac{{HB}}{{AB}} = \frac{{HB}}{{2R}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{HB}}{R}\)

Ta có \[OM//BC\]( cùng vuông góc với \[AC\]) suy ra \(\widehat {MOA} = \widehat {CBH}\) ( hai góc đồng vị)

Xét \(\Delta HCB\) và \(\Delta AMO\) có \(\widehat {MAO} = \widehat {CHB} = {90^ \circ }\) ; \(\widehat {MOA} = \widehat {CBH}\)

Suy ra \(\Delta HCB \sim \Delta AMO\), nên \(\frac{{HB}}{{OA}} = \frac{{CH}}{{AM}} = \frac{{HB}}{R}\)

Do đó \(\frac{{HK}}{{AM}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{CH}}{{AM}}\) hay \(HK = \frac{1}{2}CH\)

Suy ra \[MB\] đi qua trung điểm của \[CH\] (đpcm).