(2,0 điểm)

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{x + 1}}\) và \(B = \frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}}\) với \(x > 0\).

a) Tính giá trị của \(B\) khi \(x = 9\).

b) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }}\)

c) Tìm giá trị của \(x\) để \(P = 2AB + \frac{4}{{x + 1}}\) đạt giá trị lớn nhất.

a) Thay \(x = 9\) (thỏa mãn điều kiện) vào \(A\) ta có:

\(A = \frac{{\sqrt 9 }}{{9 + 1}} = \frac{3}{{10}}\).

Vậy với \(x = 9\) thì \(A = \frac{3}{{10}}\).

b) Điều kiện xác định: \(x > 0\).

\(B = \frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}}\)

\( = \frac{{x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 2 - \sqrt x  - 2 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\) (đpcm).

c) \(P = 2AB + \frac{4}{{x + 1}}\)

\( = 2.\frac{{\sqrt x }}{{x + 1}}.\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }} + \frac{4}{{x + 1}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x  - 4}}{{x + 1}} + \frac{4}{{x + 1}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x  - 4 + 4}}{{x + 1}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x }}{{x + 1}}\)

Xét hiệu: \(P - 1 = \frac{{2\sqrt x }}{{x + 1}} - 1 = \frac{{2\sqrt x  - x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{ - \left( {x - 2\sqrt x  + 1} \right)}}{{x + 1}} = \frac{{ - {{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{x + 1}}\)

Vì \(x > 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow  - {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} \le 0\)                    (1)

Vì \(x > 0 \Rightarrow x + 1 > 1 > 0\)                                                        (2)

Từ (1) và (2) \(\frac{{ - {{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{x + 1}} \le 0 \Rightarrow P - 1 \le 0 \Rightarrow P \le 1\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x  - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x  = 1 \Leftrightarrow x = 1\) (thỏa mãn)

Vậy \({P_{\max }} = 1 \Leftrightarrow x = 1\).