Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 30

Số lượng ô tô ở nhóm [45;50] là nhiều nhất : 14 chiếc

Tần số tương đối của nhóm là \(\frac{{14.100}}{{44}}\)% \( \approx 31,8\)%

a) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

                 Không gian mẫu của phép thử có 20 phần tử.

                 Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 1, 8, 15.

                 Vậy xác suất của A là \(P = \frac{3}{{20}}\)

a) Thay \(x = 9\) (thỏa mãn điều kiện) vào \(A\) ta có:

\(A = \frac{{\sqrt 9 }}{{9 + 1}} = \frac{3}{{10}}\).

Vậy với \(x = 9\) thì \(A = \frac{3}{{10}}\).

b) Điều kiện xác định: \(x > 0\).

\(B = \frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}}\)

\( = \frac{{x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 2 - \sqrt x  - 2 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\) (đpcm).

c) \(P = 2AB + \frac{4}{{x + 1}}\)

\( = 2.\frac{{\sqrt x }}{{x + 1}}.\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }} + \frac{4}{{x + 1}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x  - 4}}{{x + 1}} + \frac{4}{{x + 1}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x  - 4 + 4}}{{x + 1}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x }}{{x + 1}}\)

Xét hiệu: \(P - 1 = \frac{{2\sqrt x }}{{x + 1}} - 1 = \frac{{2\sqrt x  - x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{ - \left( {x - 2\sqrt x  + 1} \right)}}{{x + 1}} = \frac{{ - {{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{x + 1}}\)

Vì \(x > 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow  - {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} \le 0\)                    (1)

Vì \(x > 0 \Rightarrow x + 1 > 1 > 0\)                                                        (2)

Từ (1) và (2) \(\frac{{ - {{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{x + 1}} \le 0 \Rightarrow P - 1 \le 0 \Rightarrow P \le 1\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x  - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x  = 1 \Leftrightarrow x = 1\) (thỏa mãn)

Vậy \({P_{\max }} = 1 \Leftrightarrow x = 1\).

Gọi độ dài cạnh đáy \(MN\) và độ dài chiều cao \(AM\) của bể bơi lần lượt là \(x\) (m) và \(y\)(m) với \(x > 0;y > 0\).

            Do thể tích bể bơi là \(4\,{m^3}\)nên \({x^2}y = 4\) hay \(y = \frac{4}{{{x^2}}}\).

            Tổng diện tích các mặt của bể bơi  là: \(S = 4xy + {x^2} = {x^2} + \frac{{16}}{x}\).

            Ta có \(S = {x^2} - 4x + 4 + \frac{{4{x^2} + 16}}{x} - 4 = {(x - 2)^2} + \frac{{4{{(x - 2)}^2}}}{x} + 12 \ge 12\)

            Dấu bằng xảy ra khi \(x = 2;y = 1\) (thỏa mãn)

            Vậy để tổng diện tích các mặt của bể bơi mini nhỏ nhất khi độ dài cạnh mặt đáy và chiều cao của bể lần lượt là 2 m và 1 m.

Gọi  \(x\), \(y\) (đồng ) lần lượt là số tiền của loại hàng thứ nhất và loại hàng thứ hai không kể thuế VAT mà Mai đã mua (\(x,y > 0\))

Số tiền khi mua loại hàng thứ nhất sau khi tính thuế là: \(x + 12\% x = 1,12x\) (đồng).

Số tiền khi mua loại hàng thứ hai sau khi tính thuế là: \(y + 9\% y = 1,09y\) (đồng).

Tổng số tiền khi mua hai loại hàng sau khi tính thuế là 165000 đồng ta có phương trình:

                                                     \(1,12x + 1,09y = 165000\) (1)

                 Tổng số tiền thuế của hai loại hàng là 10000 đồng ta có phương trình:

                                                                     \(12\% x + 9\% y = 15000\)

Hay \(0,12x + 0,09y = 15000\) (2)

                 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}1,12x + 1,09y = 165000\\0,12x + 0,09y = 15000\end{array} \right.\)

                 Giải hệ ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 50000\\y = 100000\end{array} \right.\)(thỏa mãn)

Vậy số tiền không kể thuế của loại hàng thứ nhất là 50000 đồng, số tiền không kể thuế của loại hàng thứ hai là 100000 đồng.