(2,5 điểm)

Để mở rộng kinh doanh, một cửa hàng đã vay 600 triệu đồng kì hạn 12 tháng từ hai ngân hàng A và B với lãi suất lần lượt là \(8\% \)/năm và \(9\% \)/năm. Tổng số tiền lãi một năm phải trả cho cả hai ngân hàng là 50  triệu đồng. Tính số tiền của hàng đã vay từ mỗi ngân hàng.

Gọi số sản phẩm dự kiến làm trong mỗi ngày là \(x\) (sản phẩm).

Điều kiện: \(x > 0\).

Thời gian dự kiến là \(\frac{{600}}{x}\) (ngày).

Thời gian làm 400 sản phẩm đầu là \(\frac{{400}}{x}\) (ngày).

Thời gian làm 600 - 400 = 200 sản phẩm sau là \(\frac{{200}}{{x + 10}}\) (ngày).

Vì thực tế công việc hoàn thành sớm hơn dự kiến 1 ngày nên ta có phương trình:

\[\frac{{600}}{x} - \left( {\frac{{400}}{x} + \frac{{200}}{{x + 10}}} \right) = 1\]

\[\frac{{200}}{x} - \frac{{200}}{{x + 10}} = 1\]

\[\frac{{200(x + 10) - 200x}}{{x(x + 10)}} = 1\]

\[{x^2} + 10x - 2000 = 0\]

\[{x^2} + 10x + 25 - 2025 = 0\]

\[{(x + 5)^2} = 2025.\]

\[{x_1} = 40\]( thỏa mãn), \[{x_2} =  - 50\] (loại).

Vậy số sản phẩm dự kiến làm trong mỗi ngày là 40 (sản phẩm).

 Phương trình \({x^2} - 4\sqrt 3 x + 8 = 0\)

\[\Delta ' = {(2\sqrt 3 )^2} - 8 = 4 > 0\] nên phương trình có hai nghiệm x1; x2

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \[{x_1} + {x_2} = 4\sqrt 3 \]  và  \[{x_1}{x_2} = 8\]

Ta có: \({\rm{Q}} = {x_1}^3 + {x_2}^3\)

      \({\rm{Q}} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 - {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right)\)

      \({\rm{Q}} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 - 3{x_1}{x_2}} \right)\)

      \[{\rm{Q}} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]\]

      \[{\rm{Q}} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\]

Thay  \[{x_1} + {x_2} = 4\sqrt 3 \]  và  \[{x_1}{x_2} = 8\] vào \[{\rm{Q}}\]ta được:

\[{\rm{Q}} = {\left( {4\sqrt 3 } \right)^3} - 3.8.4\sqrt 3  = 96\sqrt 3 \]