(4,0 điểm)

Một hộp bóng hình trụ chứa vừa khít \(3\)quả bóng tennis có đường kính \(6,5\,cm\) như hình.

a)     Tính diện tích bề mặt và thể tích của mỗi quả bóng

b)     Tính diện tích xung quanh và thể tích của hộp bóng.

Gọi số tấm kính giọt bắn mỗi lớp \(9A,\;9B\)làm được trong đợt 1 lần lượt là: \(x,\;y\) (tấm) (\(0 < x,y < 1500)\)

Vì trong đợt 1 cả hai lớp \(9A,\;9B\) đã làm được \(1500\)chiếc tấm kính chắn giọt bắn nên ta có phương trình:

\(x + y = 1500\)  (1)

Số tấm kính giọt bắn lớp \(9A\)làm được trong đợt 2 là: \(x + 70\% .x = 1,7x\) (tấm)

Số tấm kính giọt bắn lớp \(9B\)làm được trong đợt 2 là: \(y + 68\% .y = 1,68y\) (tấm)

Vì trong đợt 2 cả hai lớp \(9A,\;9B\) đã làm được \(2358\)chiếc tấm kính chắn giọt bắn nên ta có phương trình:

\(1,7x + 1,68y = 2358\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1500\quad \quad \quad \quad \quad \left( 1 \right)\\1,7x + 1,68y = 2358\quad \quad \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình ta được: \(x = 960\;\left( {TM} \right);\;y = 540\;\left( {TM} \right)\)

Vậy số tấm kính giọt bắn mỗi lớp \(9A,\;9B\)làm được trong đợt 1 lần lượt là: \(960;\;540\) (tấm)

Gọi chiều rộng là \(x\left( {cm} \right)\left( {0 < x < 12} \right)\)

Chiều dài là \(12 - x\left( {cm} \right)\)

Chiều cao là \(24 - x\left( {cm} \right)\)

Ta có thể tích chiếc hộp là: \(V = x\left( {12 - x} \right)\left( {24 - x} \right)\left( {c{m^3}} \right)\)

Bất đẳng thức Cauchy 3 số không âm \(a,b,c\)ta có:  \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)      

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\)

Thật vậy, đặt \(x = \sqrt[3]{a},y = \sqrt[3]{b},z = \sqrt[3]{c}\)\( \Rightarrow x,y,z \ge 0 \Rightarrow x + y + z \ge 0\)

Ta phái chứng minh:

\({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\)

\({\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) + {z^3} - 3xyz \ge 0\)

\(\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {x + y} \right)z + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right) \ge 0\)

\(\left( {x + y + z} \right)\left[ {{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy - xz - yz} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right) \ge 0\)

\(\left( {x + y + z} \right)\left[ {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz} \right] \ge 0\)

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz \ge 0\)  (vì \(x + y + z \ge 0\))

\({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} \ge 0\)\(\)(luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z\) hay \(a = b = c\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm ta có:

\(V = x\left( {12 - x} \right)\left( {24 - x} \right)\left( {c{m^3}} \right)\)

\(\frac{1}{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}.x.\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {12 - x} \right)\left( {24 - x} \right)\)

\( \le \frac{1}{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}.{\left[ {\frac{{x + \left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {12 - x} \right) + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {24 - x} \right)}}{3}} \right]^3}\)

\( = \frac{1}{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}.{\left[ {\frac{{x + 12\sqrt 3  - \sqrt 3 x - 12 + x + 48 - 2x - 24\sqrt 3  + \sqrt 3 x}}{3}} \right]^3}\)

\( = \frac{1}{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}.{\left[ {\frac{{36 - 12\sqrt 3 }}{3}} \right]^3} = 384\sqrt 3 \)

 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(x = \left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {12 - x} \right)\)\( = \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {24 - x} \right)\)\( \Leftrightarrow x = 12 - 4\sqrt 3 \)

Vậy \({V_{\max }} = 384\sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow x = 12 - 4\sqrt 3 \)