(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(A = \frac{x}{{\sqrt x  - 3}}\) và \(B = \frac{{2x - 3}}{{x - 3\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0,x \ne 9\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 16\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 3}}\).

3) Tìm tất cả giá trị của \(x\) để \(A - B < 0\).

1) Tính giá trị của biểu thúc \(A\) khi \(x = 16\).

Thay \(x = 16\) (tmđk) vào \(A\) ta có: \(A = \frac{{16}}{{\sqrt {16}  - 3}} = \frac{{16}}{{4 - 3}} = 16\)

Vậy với \(x = 16\) thì \(A = 16\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 3}}\).

ĐKXĐ: \(x > 0,x \ne 9\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{2x - 3}}{{x - 3\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }}\\B = \frac{{2x - 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\B = \frac{{2x - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\B = \frac{{\sqrt x \left( {2\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 3}}\end{array}\)

Vậy với \(x > 0,x \ne 9\) thì \(B = \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 3}}\).

3) Tìm tất cả giá trị của \(x\) để \(A - B < 0\).

\(A - B < 0\)

\(\frac{x}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 3}} < 0\)

\(\frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} < 0\)

\(\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  - 3}} < 0\)

Ta có: \({\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} \ge 0\)

Do đó:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt x  - 3 < 0}\\{\sqrt x  - 1 \ne 0}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt x  < 3}\\{\sqrt x  \ne 1}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < 9}\\{x \ne 1}\end{array}} \right.\)

Kết hợp với điều kiện ta có: \(0 < x < 9\) và \(x \ne 1\)

Vây với \(0 < x < 9\) và \(x \ne 1\) thì \(A - B < 0\).