(2,5 điểm)

Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 4 giờ thì được \(\frac{2}{3}\) bể nước. Hỏi nếu mỗi vòi nước chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể.

Gọi số sản phẩm mỗi ngày xí ngiệp phải làm theo kế hoạch là \(x\), (sản phẩm \(x \in \mathbb{N}*,x < 75)\)

Số sản phẩm phải làm theo kế hoạch là 75 sản phẩm.

Thời gian hoàn thành theo kế hoạch là \(\frac{{75}}{x}\) ngày.

Thực tế, mỗi ngày làm được \(x + 5\) sản phẩm.

Thực tế số sản phẩm làm được là 80 sản phẩm.

Thực tế, thời gian hoàn thành là \(\frac{{80}}{x}\) sản phẩm.

Thực tế, xí nghiệp hoàn thành trước 1 ngày so với kế hoạch nên ta có phương trình:

\(\frac{{80}}{{x + 5}} + 1 = \frac{{75}}{x}\)

\(\frac{{80 + x + 5}}{{x + 5}} = \frac{{75}}{x}\)

\({x^2} + 80x + 5x = 75x + 375\)

\({x^2} + 10x - 375 = 0\)

\(\left( {x - 15} \right)\left( {x + 25} \right) = 0\)

Trường hợp 1: \(x = 15 & \left( {{\rm{tho\^u a ma\~o n}}} \right)\)

Trường hợp 2: \(x =  - 25\,\left( {{\rm{loa\"i i}}} \right)\)

Vậy, theo kế hoạch mỗi ngày xí nghiệp phải làm 15 sản phẩm.

Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng \[\left( d \right)\] là nghiệm của phương trình:

\({x^2} = x - m\)

\({x^2} - x + m = 0\)

Hai đồ thị hàm số có một giao điểm là \(x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\) nên ta có:

\({\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} - \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} + m = 0\)

\(m = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} - {\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^2}\)

\( = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} - \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{4}\)\( = \frac{{1 - \sqrt 5  - 3 + \sqrt 5 }}{2}\)\( =  - 1\)

Với \(m =  - 1\) ta có phương trình: \({x^2} - x - 1 = 0\)

Theo định lí Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} =  - 1\end{array} \right.\)                                                      \(\left( 1 \right)\)

Theo bài ra:\(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} - \frac{{2025}}{{{x_1} + {x_2} - 2}}\)

\(\frac{{{x_2} + {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} - \frac{{2025}}{{{x_1} + {x_2} - 2}}\)                                                      \(\left( 2 \right)\)

Từ (1) và \(\left( 2 \right)\) ta có: \(\frac{1}{{ - 1}} - \frac{{2025}}{{1 - 2}} =  - 1 + 2025 = 2024\)

Vậy\(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} - \frac{{2025}}{{{x_1} + {x_2} - 2}} = 2024\) với \(m =- 1\).