Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình chữ nhật, \(AB = a,BC = 2a,\) \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\).

a) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(AC\)và \(SB\)là \(\frac{{2a}}{3}\).

 \( \Rightarrow AC//(SEB)\)

\(d(AC;SB) = d(AC;(SEB)) = d(A;(SEB))\)

Kẻ đường cao \(AI\)của tam giác \(EAB\), kẻ đường cao \(AH\)của tam giác \(SAC\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}EB \bot AI\\EB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow EB \bot (SAI)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow EB \bot AH\\ \Rightarrow AH \bot (SEB)\\ \Rightarrow AH = d(A;(SEB))\end{array}\)

Xét tam giác \(AEB\)vuông tại \(A\)có \(AE = BC = 2a;AB = a\)

\(AI\)là đường cao của tam giác \(AEB\)nên \(\frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AI = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)

Xét tam giác \(AIS\)vuông tại \(A\)có: \(AI = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5};SA = a\)

\(AH\)là đường cao của tam giác \(AIS\) nên

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{I^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{AI.SA}}{{\sqrt {A{I^2} + S{A^2}} }} = \frac{{\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}.a}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a}}{3}\)

Vậy: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(AC\)và \(SB\)là \(\frac{{2a}}{3}\) \( \Rightarrow a)\) đúng.

Cách 2: Gán hệ trục tọa độ \(Oxyz\)vào khối chóp \(S.ABCD\) sao cho \(A\)là gốc tọa độ, điểm \(B\) thuộc tia \(Ox\),  điểm \(D\) thuộc tia \(Oy\), điểm \(S\) thuộc tia \(Oz\).

Khi đó: \(A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;2a;0),S(0;0;a);C(a;2a;0)\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AC}  = (a;2a;0)\\\overrightarrow {SB}  = (a;0; - a)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {SB} } \right] = ( - 2{a^2};{a^2}; - 2{a^2})\\\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {SB} } \right]} \right| = 3{a^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AS}  = (0;0;a)\\\overrightarrow {AS} \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {SB} } \right] =  - 2{a^3}\end{array}\)

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(AC\)và \(SB\)là: \(d(AC;SB) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AS} \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {SB} } \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {SB} } \right]} \right|}} = \frac{{2a}}{3}\)

b) Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\)là \(2{a^3}\).

Áp dụng công thức \(V = \frac{1}{3}.{S_d}.h\)

Trong đó: \({S_d}\) là diện tích hình chữ nhật \(ABCD\)

\(h\)là chiều cao của khối chóp \(S.ABCD\)

Ta có: \({S_d} = a.2a = 2{a^2}\)

\(SA \bot (ABCD)\) nên \(SA\)là chiều cao của khối chóp \(S.ABCD\), \(h = SA = a\)

\( \Rightarrow V = \frac{1}{3}.2{a^2}.a = \frac{2}{3}{a^3}\) (đvtt) Vậy mệnh đề b sai.

c) \(BC \bot (SAB)\)

\(ABCD\)là hình chữ nhật nên \(BC \bot AB\)

\(SA \bot (ABCD)\) nên        \(BC \bot SA\)

\( \Rightarrow BC \bot (SAB)\) . Vậy mệnh đề c đúng.

d) \(\sin \)góc giữa đường thẳng \(SC\)và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\).

\(SA \bot (ABCD)\) nên hình chiếu vuông góc của \(SC\)lên mặt phẳng \((ABCD)\)là \(AC\)

Suy ra \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).

Xét tam giác \(SAC\)có: \(SA = a;AC = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}}  = a\sqrt 5 ,SC = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 5 } \right)}^2}}  = a\sqrt 6 \).

\(\sin \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{SC}} = \frac{a}{{a\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\). Vậy mệnh đề d sai.