Một xưởng sản xuất thiết bị gia dụng dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm trong một đợt. Tổng doanh thu khi bán hết\(x\)sản phẩm được mô tả bằng:\(F\left( x \right) =  - {x^2} + 8000x + 100000\) (đồng). Chi phí (điện, khấu hao máy, lương công nhân vận hành…) để sản xuất một sản phẩm là:\(G\left( x \right) = \frac{{100000}}{{2x + 5}}\)(đồng). Tổng chi phí mua nguyên vật liệu khi chưa chiết khấu là:\(H\left( x \right) = 50{x^2} + 2000x + 50000\)(đồng). Công ty cung cấp nguyên liệu đang chạy chương trình khuyến mại nhân dịp kỷ niệm thành lập công ty nên giảm \(5\% \) tổng tiền mua nguyên liệu này. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm trong dịp này để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Đáp án: 1800.

Đặt \(PH = x\,\,\left( {0 \le x \le 3000} \right)\)\( \Rightarrow \)\(PA = \sqrt {{x^2} + {{900}^2}} ;\,\,BP = 3000 - x\).

Do tỉ lệ giữa chi phí để kéo \(1\) mét cáp dưới nước và chi phí kéo \(1\) mét cáp trên bờ bằng \(1,25\)nên tổng chi phí đường cáp điện được kéo từ một trạm điện \(A\) đến một nhà máy \(B\) là

\(f\left( x \right) = PA.1,25 + PB = \sqrt {{x^2} + {{900}^2}} .1,25 + 3000 - x\) với \(0 \le x \le 3000\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 1,25.\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{900}^2}} }} - 1 = \frac{{1,25x - \sqrt {{x^2} + {{900}^2}} }}{{\sqrt {{x^2} + {{900}^2}} }}\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{900}^2}}  = 1,25x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} + {900^2} = 1,5625{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1200\).

Vậy để tiết kiệm chi phí nhất thì vị trí \(P\) cách nhà máy \(B\) một đoạn bằng \(3000 - 1200 = 1800\,\,\,m\)

Đáp án: 1499

Số phần tử của không gian mẫu bằng \(n\left( \Omega \right) = {9.10^5}\).

Gọi \(A\) là biến cố “Mã số có tích các chữ số bằng 1400”.

Xét \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \) là mã số thuộc biến cố \(A.\)

Ta có \(1400 = {2^3}{.5^2}{.7^1}\), chỉ có các ước trong tập \(\left\{ {0;1;2;...;9} \right\}\) là \(1;2;4;5;7;8\) nên trong các số \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}\)chỉ có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Có 3 chữ số 2; 2 chữ số 5 và 1 chữ số 7: Chọn 3 vị trí trong các vị trí \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}\) để cho bằng số 2 có \(C_6^3\) cách; chọn 2 vị trí trong các vị trí \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}\) để cho bằng số 5 có \(C_3^2\) cách. Vị trí còn lại ta cho bằng 7. Như vậy sẽ có \(C_6^3.C_3^2\) mã số ở trường hợp này.

Trường hợp 2: Có 1 chữ số 2, 1 chữ số 4, 2 chữ số 5, 1 chữ số 7 và 1 chữ số 1: Chọn 2 vị trí trong các vị trí \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}\) để cho bằng 5 có \[C_6^2\] cách. 4 vị trí còn lại điền đủ các chữ số 1,2,4,7 nên có đúng 4! cách điền cho 4 vị trí còn lại. Số mã số tương ứng trong trường hợp này là \(4!.C_6^2\) .

Trường hợp 3: Có 1 chữ số 8, 1 chữ số 7, 2 chữ số 5, 2 chữ số 1: Chọn ra 2 vị trí để cho bằng 5 có \(C_6^2\) cách; chọn ra 2 vị trí để cho bằng 1 có \(C_4^2\) cách. Hai vị trí còn lại điền hai số 8,7 nên có 2 cách điền số ở hai vị trí còn lại. Số mã số tương ứng trong trường hợp này là \(C_6^2.C_4^2.2\)

Như vậy số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = C_6^3.C_3^2 + C_6^2.4! + C_6^2.C_4^2.2 = 600.\)

Vậy nên xác suất để chọn ra một mã số có tích của tất cả các chữ số bằng 1400 là: \(P\left( A \right) = \frac{{600}}{{{{9.10}^5}}} = \frac{1}{{1500}}\)

Ta có được \(b = 1500;a = 1 \Rightarrow b - a = 1499.\)