Dãy số nào trong các dãy số dưới đây là một cấp số cộng?    

Đáp án: \(15\)

Từ giả thiết, điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z - 1 = 0\);

Có \(MA = MB\), suy ra \(M\) thuộc mặt phẳng trung trực của \(AB\)là \(\left( Q \right):y + z = 0\);

Suy ra\(M\)thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Ta tìm được đó là đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = t\\z =  - t\end{array} \right.\).

Tham số hóa \(M\left( {1 - 3t;t; - t} \right)\) thì \(\overrightarrow {AM} \left( { - 1 - 3t;t - 2; - t} \right);\overrightarrow {BM} \left( { - 1 - 3t;t; - t + 2} \right)\)

Suy ra \(\cos AMB = \frac{{\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} }}{{MA.MB}} = \frac{{{{\left( {1 + 3t} \right)}^2} + t\left( {t - 2} \right).2}}{{{{\left( {1 + 3t} \right)}^2} + {{\left( {t - 2} \right)}^2} + {t^2}}} = \frac{{11{t^2} + 2t + 1}}{{11{t^2} + 2t + 5}} = f\left( t \right)\)

Để góc \(AMB\) lớn nhất thì ta cần \[\cos AMB = f\left( t \right)\] nhỏ nhất.

Khảo sát hàm \(f\left( t \right)\)ta được \(f\left( t \right)\)nhỏ nhất khi và chỉ khi \(t =  - \frac{1}{{11}}\).

Suy ra \(M\left( {\frac{{14}}{{11}}; - \frac{1}{{11}};\frac{1}{{11}}} \right)\). Vậy \(S = 15\).

Hàm số dân số là \(f\left( t \right) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}\) (nghìn người).

a) Số dân vào đầu năm 1980

Thời gian \(t\) tính từ năm 1970.

Năm 1980 ứng với \(t = 1980 - 1970 = 10\) (năm).

\[f\left( {10} \right) = \frac{{26 \cdot 10 + 10}}{{10 + 5}} = 18\]

Vậy số dân vào đầu năm 1980 là 18 nghìn người. Khẳng định a) đúng.

b) Số dân vào đầu năm 1995

Thời gian \(t\) tính từ năm 1970.

Năm 1995 ứng với \(t = 1995 - 1970 = 25\) (năm).

\[f\left( {25} \right) = \frac{{26 \cdot 25 + 10}}{{25 + 5}} = 22\].

Vậy số dân vào đầu năm 1995 là 22 nghìn người. Khẳng định b) sai

c) Xét tính đồng biến của hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}\).

\[f'\left( t \right) = \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} > 0\], với mọi \(t \in [0, + \infty )\)

Vậy hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \([0, + \infty )\). Khẳng định c) đúng.

d) Tốc độ tăng dân số vào năm 1998

Năm 1998 ứng với \(t = 1998 - 1970 = 28\) (năm).

\[f'\left( {28} \right) = \frac{{120}}{{{{\left( {28 + 5} \right)}^2}}} \approx 0,11019\] (nghìn người/năm).

Khẳng định d) sai