Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): \(y\, = {x^2}\) và đường thẳng (d): \(y\, = \,2x + 3\).

         1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

         2. Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d).

Ta có: \(\widehat {ACB}\, = \,\widehat {ADB}\, = \,{90^0}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB).

Suy ra: \(\widehat {KDB\,} = \,{90^0}\)

Vì \(CH\,\, \bot \,\,AB\) nên \(\widehat {CHB\,} = \,{90^0} \Rightarrow \,\widehat {KHB} = \,{90^0}\).

1. Chứng minh BHKD là một tứ giác nội tiếp.

Tứ giác \(BHKD\) có: \(\,\widehat {KHB} + \,\,\widehat {KDB} = \,{90^0}\, + \,{90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BHKD\) là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh tam giác ACK đồng dạng với tam giác ADC và chứng minh \(AK.\,AD\, = \,A{C^2}\).

Ta có: (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Mặt khác \(\widehat {{C_1}\,} = \,\widehat {{B_1}}\) (cùng phụ \(\widehat {{C_2}}\))

Do đó \(\widehat {{C_1}\,} = \,\widehat {{D_1}}\)

Xét tam giác ACK và tam giác ADC có:

\(\widehat {CAD}\): góc chung.

\(\widehat {{C_1}\,} = \,\widehat {{D_1}}\)(chứng minh trên)

Vậy: tam giác ACK đồng dạng với tam giác ADC (g – g)

\( \Rightarrow \)\(\frac{{AC}}{{AD}}\, = \,\frac{{AK}}{{AC}}\)\( \Rightarrow AK\,.\,AD\, = \,A{C^2}\).

         1. \({x^2} + x - 10 = 0\)

         Vì \(a.c = \,1.\left( { - 10} \right)\, = \, - 10 < 0\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,{x_2}\).

         Theo định lý Vi – ét, ta có:

         \(\left\{ \begin{array}{l}S\, = \,{x_1}\, + \,{x_2}\, = \,\frac{{ - b}}{a}\, = \, - 1\\P\, = \,{x_1}{x_2}\, = \,\frac{c}{a}\, = \, - 10\end{array} \right.\)

         Ta có: \(A\, = \,x_1^2\, + \,x_2^2\, - 3{x_1}{x_2} = \,{S^2}\, - 2P\, - 3P\, = \,{S^2} - 5P\, = \,{\left( { - 1} \right)^2} - 5.\left( { - 10} \right) = 51\)

         2. \({x^2} + \,\left( {m + 1} \right)x + \frac{1}{4}{m^2} + 1\, = 0\)

            \(\Delta \, = \,{\left( {m + 1} \right)^2}\, - 4.1.\left( {\frac{1}{4}{m^2} + 1} \right)\, = \,2m - 3\)

            Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow 2m\, - 3 > \,0 \Leftrightarrow m\, > \frac{3}{2}\).

            Vậy \(m\, > \,\frac{3}{2}\) thỏa yêu cầu bài toán.