Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): \(y\, = {x^2}\) và đường thẳng (d): \(y\, = \,2x + 3\).

         1. Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

         2. Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d).

Ta có: \(\widehat {ACB}\, = \,\widehat {ADB}\, = \,{90^0}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB).

Suy ra: \(\widehat {KDB\,} = \,{90^0}\)

Vì \(CH\,\, \bot \,\,AB\) nên \(\widehat {CHB\,} = \,{90^0} \Rightarrow \,\widehat {KHB} = \,{90^0}\).

1. Chứng minh BHKD là một tứ giác nội tiếp.

Tứ giác \(BHKD\) có: \(\,\widehat {KHB} + \,\,\widehat {KDB} = \,{90^0}\, + \,{90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BHKD\) là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh tam giác ACK đồng dạng với tam giác ADC và chứng minh \(AK.\,AD\, = \,A{C^2}\).

Ta có: (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Mặt khác \(\widehat {{C_1}\,} = \,\widehat {{B_1}}\) (cùng phụ \(\widehat {{C_2}}\))

Do đó \(\widehat {{C_1}\,} = \,\widehat {{D_1}}\)

Xét tam giác ACK và tam giác ADC có:

\(\widehat {CAD}\): góc chung.

\(\widehat {{C_1}\,} = \,\widehat {{D_1}}\)(chứng minh trên)

Vậy: tam giác ACK đồng dạng với tam giác ADC (g – g)

\( \Rightarrow \)\(\frac{{AC}}{{AD}}\, = \,\frac{{AK}}{{AC}}\)\( \Rightarrow AK\,.\,AD\, = \,A{C^2}\).

         Gọi \(x\)\(\left( {x > 0;\,\,m} \right)\) là chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật.

         Suy ra: chiều dài của khu vườn hình chữa nhật là: \(x + 5\,\,\left( m \right)\).

         Diện tích khu vườn hình chữ nhật: \(x\left( {x\, + \,5} \right)\,\,\left( {{m^2}} \right)\).

         Theo đề bài ta có phương trình: \(x\left( {x\, + \,5} \right)\, = \,150\)

                                                      \( \Leftrightarrow {x^2}\, + 5x\, - 150\, = 0\)

         Giải phương trình thu được:  \({x_1} = \,10\,\,\left( n \right);\,\,{x_2}\, = \, - 15\,\,\left( l \right)\)

         Vậy:

         Chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật là 10 m.

         Chiều dài của khu vườn hình chữa nhật là: \(x + 5\, = \,10 + 5\, = 15\,\left( m \right)\).