Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 150 m2. Hỏi khu vườn có chiều dài và chiều rộng bằng bao nhiêu mét, biết rằng chiều dài lớn hơn chiều rộng 5m?

Ta có: \(\widehat {ACB}\, = \,\widehat {ADB}\, = \,{90^0}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB).

Suy ra: \(\widehat {KDB\,} = \,{90^0}\)

Vì \(CH\,\, \bot \,\,AB\) nên \(\widehat {CHB\,} = \,{90^0} \Rightarrow \,\widehat {KHB} = \,{90^0}\).

1. Chứng minh BHKD là một tứ giác nội tiếp.

Tứ giác \(BHKD\) có: \(\,\widehat {KHB} + \,\,\widehat {KDB} = \,{90^0}\, + \,{90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BHKD\) là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh tam giác ACK đồng dạng với tam giác ADC và chứng minh \(AK.\,AD\, = \,A{C^2}\).

Ta có: (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Mặt khác \(\widehat {{C_1}\,} = \,\widehat {{B_1}}\) (cùng phụ \(\widehat {{C_2}}\))

Do đó \(\widehat {{C_1}\,} = \,\widehat {{D_1}}\)

Xét tam giác ACK và tam giác ADC có:

\(\widehat {CAD}\): góc chung.

\(\widehat {{C_1}\,} = \,\widehat {{D_1}}\)(chứng minh trên)

Vậy: tam giác ACK đồng dạng với tam giác ADC (g – g)

\( \Rightarrow \)\(\frac{{AC}}{{AD}}\, = \,\frac{{AK}}{{AC}}\)\( \Rightarrow AK\,.\,AD\, = \,A{C^2}\).

         1. \({x^2} + x - 10 = 0\)

         Vì \(a.c = \,1.\left( { - 10} \right)\, = \, - 10 < 0\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,{x_2}\).

         Theo định lý Vi – ét, ta có:

         \(\left\{ \begin{array}{l}S\, = \,{x_1}\, + \,{x_2}\, = \,\frac{{ - b}}{a}\, = \, - 1\\P\, = \,{x_1}{x_2}\, = \,\frac{c}{a}\, = \, - 10\end{array} \right.\)

         Ta có: \(A\, = \,x_1^2\, + \,x_2^2\, - 3{x_1}{x_2} = \,{S^2}\, - 2P\, - 3P\, = \,{S^2} - 5P\, = \,{\left( { - 1} \right)^2} - 5.\left( { - 10} \right) = 51\)

         2. \({x^2} + \,\left( {m + 1} \right)x + \frac{1}{4}{m^2} + 1\, = 0\)

            \(\Delta \, = \,{\left( {m + 1} \right)^2}\, - 4.1.\left( {\frac{1}{4}{m^2} + 1} \right)\, = \,2m - 3\)

            Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow 2m\, - 3 > \,0 \Leftrightarrow m\, > \frac{3}{2}\).

            Vậy \(m\, > \,\frac{3}{2}\) thỏa yêu cầu bài toán.