Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa đường tròn đó lấy điểm C (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi K là điểm nằm giữa C và H , tia
AK cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D.

         1. Chứng minh BHKD là một tứ giác nội tiếp.

         2. Chứng minh tam giác ACK đồng dạng với tam giác ADC và chứng minh \(AK.\,AD\, = \,A{C^2}\).

         1. \({x^2} + x - 10 = 0\)

         Vì \(a.c = \,1.\left( { - 10} \right)\, = \, - 10 < 0\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,{x_2}\).

         Theo định lý Vi – ét, ta có:

         \(\left\{ \begin{array}{l}S\, = \,{x_1}\, + \,{x_2}\, = \,\frac{{ - b}}{a}\, = \, - 1\\P\, = \,{x_1}{x_2}\, = \,\frac{c}{a}\, = \, - 10\end{array} \right.\)

         Ta có: \(A\, = \,x_1^2\, + \,x_2^2\, - 3{x_1}{x_2} = \,{S^2}\, - 2P\, - 3P\, = \,{S^2} - 5P\, = \,{\left( { - 1} \right)^2} - 5.\left( { - 10} \right) = 51\)

         2. \({x^2} + \,\left( {m + 1} \right)x + \frac{1}{4}{m^2} + 1\, = 0\)

            \(\Delta \, = \,{\left( {m + 1} \right)^2}\, - 4.1.\left( {\frac{1}{4}{m^2} + 1} \right)\, = \,2m - 3\)

            Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow 2m\, - 3 > \,0 \Leftrightarrow m\, > \frac{3}{2}\).

            Vậy \(m\, > \,\frac{3}{2}\) thỏa yêu cầu bài toán.

Gọi\(R\); \(h\) lần lượt là chiều cao của hình trụ đã cho. Suy ra: R = 4cm; h = 12cm

Diện tích xung quanh của hình trụ: \({S_{xq}}\, = \,2\pi R.h\,\, = \,\,2\pi .\,4.\,12 = \,96\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Thể tích của hình trụ:\(V\, = \,\pi {R^2}h\, = \,\pi {.4^2}.\,12\, = \,192\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\)