1. Gọi \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + x - 10 = 0\). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \(A\, = \,x_1^2\, + \,x_2^2\, - 3{x_1}{x_2}\)

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} + \,\left( {m + 1} \right)x + \frac{1}{4}{m^2} + 1\, = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: \(\widehat {ACB}\, = \,\widehat {ADB}\, = \,{90^0}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB).

Suy ra: \(\widehat {KDB\,} = \,{90^0}\)

Vì \(CH\,\, \bot \,\,AB\) nên \(\widehat {CHB\,} = \,{90^0} \Rightarrow \,\widehat {KHB} = \,{90^0}\).

1. Chứng minh BHKD là một tứ giác nội tiếp.

Tứ giác \(BHKD\) có: \(\,\widehat {KHB} + \,\,\widehat {KDB} = \,{90^0}\, + \,{90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BHKD\) là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh tam giác ACK đồng dạng với tam giác ADC và chứng minh \(AK.\,AD\, = \,A{C^2}\).

Ta có: (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Mặt khác \(\widehat {{C_1}\,} = \,\widehat {{B_1}}\) (cùng phụ \(\widehat {{C_2}}\))

Do đó \(\widehat {{C_1}\,} = \,\widehat {{D_1}}\)

Xét tam giác ACK và tam giác ADC có:

\(\widehat {CAD}\): góc chung.

\(\widehat {{C_1}\,} = \,\widehat {{D_1}}\)(chứng minh trên)

Vậy: tam giác ACK đồng dạng với tam giác ADC (g – g)

\( \Rightarrow \)\(\frac{{AC}}{{AD}}\, = \,\frac{{AK}}{{AC}}\)\( \Rightarrow AK\,.\,AD\, = \,A{C^2}\).

         Gọi \(x\)\(\left( {x > 0;\,\,m} \right)\) là chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật.

         Suy ra: chiều dài của khu vườn hình chữa nhật là: \(x + 5\,\,\left( m \right)\).

         Diện tích khu vườn hình chữ nhật: \(x\left( {x\, + \,5} \right)\,\,\left( {{m^2}} \right)\).

         Theo đề bài ta có phương trình: \(x\left( {x\, + \,5} \right)\, = \,150\)

                                                      \( \Leftrightarrow {x^2}\, + 5x\, - 150\, = 0\)

         Giải phương trình thu được:  \({x_1} = \,10\,\,\left( n \right);\,\,{x_2}\, = \, - 15\,\,\left( l \right)\)

         Vậy:

         Chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật là 10 m.

         Chiều dài của khu vườn hình chữa nhật là: \(x + 5\, = \,10 + 5\, = 15\,\left( m \right)\).