Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 1\).

Lời giải

a) Trục đối xứng của đồ thị hàm số là đường thẳng \(x =  - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot 1}} = 2\).

b) Tọa độ đỉnh \(I\) của \(\left( P \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot 1}} = 2\\y = {2^2} - 4 \cdot 2 + 3 =  - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {2; - 1} \right)\).

Vì \(a = 1 > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).

c) Vì \(a = 1 > 0\) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −1.

d) Ta có \({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\).

Suy ra \(\left( P \right)\) cắt trục \(Ox\) tại \(B\left( {3;0} \right),A\left( {1;0} \right)\).

Có \({S_{IAB}} = \frac{1}{2}IH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Sai;     d) Đúng.

Lời giải

Để \(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - \left( {m + 5} \right) \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = {m^2} - 3m - 4 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\ - 1 \le m \le 4\end{array} \right.\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).

Tổng các giá trị nguyên của \(m\) là 9.

Trả lời: 9.