Một chiếc cổng có hình dạng là một parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 72 m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một quả cầu sắt. Vị trí chạm đất của quả cầu cách chân chổng A một đoạn khoảng 17 m. Hãy tính độ cao của cổng theo đơn vị mét (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng) (làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải

a) Trục đối xứng của đồ thị hàm số là đường thẳng \(x =  - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot 1}} = 2\).

b) Tọa độ đỉnh \(I\) của \(\left( P \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot 1}} = 2\\y = {2^2} - 4 \cdot 2 + 3 =  - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {2; - 1} \right)\).

Vì \(a = 1 > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).

c) Vì \(a = 1 > 0\) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −1.

d) Ta có \({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\).

Suy ra \(\left( P \right)\) cắt trục \(Ox\) tại \(B\left( {3;0} \right),A\left( {1;0} \right)\).

Có \({S_{IAB}} = \frac{1}{2}IH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Sai;     d) Đúng.

Lời giải

Để \(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - \left( {m + 5} \right) \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = {m^2} - 3m - 4 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\ - 1 \le m \le 4\end{array} \right.\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).

Tổng các giá trị nguyên của \(m\) là 9.

Trả lời: 9.