B. Tự luận

Bác An xây một chiếc cổng hình parabol và gắn cửa hình chữ nhật bên dưới cổng (như hình vẽ). Biết chiều cao của cổng là 3 m và biết cánh cửa có chiều cao 2m, chiều rộng 3 m. Hãy tính khoảng cách giữa 2 chân cổng (tức là tính độ dài \(AB\)).

Lời giải

a) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có tọa độ đỉnh của \(\left( P \right)\) là \(\left( { - 1;0} \right)\).

b) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

c) Bề lõm của đồ thị quay lên trên nên \(a > 0\).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên \(c > 0\).

Hoành độ của đỉnh \(I\) là \(x =  - \frac{b}{{2a}} < 0\) mà \(a > 0\) nên \(b > 0\).

Vậy \(a > 0,b > 0,c > 0\).

d) Theo đề ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} =  - 1\\a - b + c = 0\\c = 1\end{array} \right.\)\(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 1\end{array} \right.\). Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} + 2x + 1\).

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) bằng 4.

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Sai;     d) Sai.

Lời giải

a) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng \(x = 2\).

b) Dựa vào đồ thị hàm số, đỉnh \(I\) của đồ thị hàm số có tọa độ là \(\left( {2; - 2} \right)\).

c) Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\).

d) Gọi \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\).

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left( {1;0} \right),\left( {3;0} \right),\left( {2; - 2} \right)\) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\9a + 3b + c = 0\\4a + 2b + c =  - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 8\\c = 6\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( P \right):y = 2{x^2} - 8x + 6\).

Đáp án: a) Sai;     b) Đúng;    c) Đúng;     d) Sai.