Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\) và điểm \(M\left( {0;1} \right)\) thuộc \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến tại \(M\) của \(\left( C \right)\).

Lời giải

Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{F_1}{F_2} = 2c = 6\\M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 3\\a = 5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}}  = \sqrt {25 - 9}  = 4\).

Vậy phương trình \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Gọi hình chữ nhật nội tiếp elip có tọa độ các đỉnh lần lượt là \(\left( {x;y} \right);\left( {x; - y} \right);\left( { - x;y} \right);\left( { - x; - y} \right)\) với \(x,y > 0\).

Khi đó diện tích hình chữ nhật là \(S = 2x \cdot 2y = 4xy\).

Vì \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Rightarrow y = 4\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}} \). Do đó \(S = 16x\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}} \)\( = \frac{{16}}{5}\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \).

Ta có \(\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)}  \le \frac{{{x^2} + 25 - {x^2}}}{2} = \frac{{25}}{2}\) (Áp dụng bất đẳng thức Côsi).

Do đó \(S \le \frac{{16}}{5} \cdot \frac{{25}}{2} = 40\).

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật dùng để trồng hoa là 40 m2.

Trả lời: 40.

Lời giải

a) Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt trục tung tại điểm \(M\) nên \(M\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1} \right)\).

Có \(\overrightarrow u  = \left( {1;1} \right)\) vuông góc \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow u  = \left( {1;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _1}\).

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\) và vuông góc với \({\Delta _1}\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(x + y - \frac{5}{2} = 0\).

b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\x - y + 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\1 + 2t - 3 - t + 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 7\\y =  - 1\\t =  - 4\end{array} \right.\)

Vậy hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng \( - 7\).

c) \(d\left( {O,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| 6 \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt 2 }}\).

d) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 1;2} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 1;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _2}\).

\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;    c) Sai;    d) Sai.