Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\) và điểm \(M\left( {0;1} \right)\) thuộc \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến tại \(M\) của \(\left( C \right)\).

Lời giải

Vị trí ban đầu của tàu \(B\) tại điểm \({M_0}\) ứng với \(t = 0\). Khi đó \({M_0}\left( {1;5} \right)\).

Tàu \(A\) di chuyển theo đường thẳng \(\Delta :7x + 6y - 9 = 0\).

Khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng \(d\left( {{M_0},\Delta } \right) = \frac{{\left| {7 \cdot 1 + 6 \cdot 5 - 9} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + {6^2}} }} = \frac{{28\sqrt {85} }}{{85}} \approx 3,04\).

Trả lời: 3,04.

Lời giải

Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{F_1}{F_2} = 2c = 6\\M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 3\\a = 5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}}  = \sqrt {25 - 9}  = 4\).

Vậy phương trình \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Gọi hình chữ nhật nội tiếp elip có tọa độ các đỉnh lần lượt là \(\left( {x;y} \right);\left( {x; - y} \right);\left( { - x;y} \right);\left( { - x; - y} \right)\) với \(x,y > 0\).

Khi đó diện tích hình chữ nhật là \(S = 2x \cdot 2y = 4xy\).

Vì \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Rightarrow y = 4\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}} \). Do đó \(S = 16x\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}} \)\( = \frac{{16}}{5}\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \).

Ta có \(\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)}  \le \frac{{{x^2} + 25 - {x^2}}}{2} = \frac{{25}}{2}\) (Áp dụng bất đẳng thức Côsi).

Do đó \(S \le \frac{{16}}{5} \cdot \frac{{25}}{2} = 40\).

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật dùng để trồng hoa là 40 m2.

Trả lời: 40.