Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Cho hai con tàu \(A\) và \(B\) cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng \(Oxy\) với đơn vị trên các trục tính theo km), sau khi xuất phát \(t\) giờ (\(t \ge 0\)), vị trí của tàu \(A\) có tọa độ được xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 30t\\y =  - 2 + 35t\end{array} \right.\), vị trí của tàu \(B\) có tọa độ là \(N\left( {1 - 40t;5 - 30t} \right)\). Nếu tàu \(B\) đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu \(A\) chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu km? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải

Có \(\overrightarrow u  = \left( {4; - 2} \right) = 2\left( {2; - 1} \right)\) nên đường thẳng \(d\) cũng nhận \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; - 1} \right)\)làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {3; - 6} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; - 1} \right)\) có phương trình tham số là

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y =  - 6 - t\end{array} \right.\). Chọn C.

Lời giải

a) Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt trục tung tại điểm \(M\) nên \(M\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1} \right)\).

Có \(\overrightarrow u  = \left( {1;1} \right)\) vuông góc \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow u  = \left( {1;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _1}\).

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\) và vuông góc với \({\Delta _1}\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(x + y - \frac{5}{2} = 0\).

b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\x - y + 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\1 + 2t - 3 - t + 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 7\\y =  - 1\\t =  - 4\end{array} \right.\)

Vậy hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng \( - 7\).

c) \(d\left( {O,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| 6 \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt 2 }}\).

d) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 1;2} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 1;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _2}\).

\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;    c) Sai;    d) Sai.