Một công viên hình elip có khoảng cách giữa hai tiêu điểm \({F_1}{F_2} = 6\;\left( {\rm{m}} \right)\) và tổng khoảng cách đo được từ một điểm \(M\) bất kì thuộc elip đến hai tiêu điểm bằng \(10\;\left( {\rm{m}} \right)\). Bên trong người ta rào thành một hình chữ nhật nội tiếp elip như hình vẽ để trồng hoa. Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật dùng để trồng hoa (đơn vị m²)?

Lời giải

Có \(\overrightarrow u  = \left( {4; - 2} \right) = 2\left( {2; - 1} \right)\) nên đường thẳng \(d\) cũng nhận \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; - 1} \right)\)làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {3; - 6} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; - 1} \right)\) có phương trình tham số là

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y =  - 6 - t\end{array} \right.\). Chọn C.

Lời giải

a) Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt trục tung tại điểm \(M\) nên \(M\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1} \right)\).

Có \(\overrightarrow u  = \left( {1;1} \right)\) vuông góc \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow u  = \left( {1;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _1}\).

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\) và vuông góc với \({\Delta _1}\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(x + y - \frac{5}{2} = 0\).

b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\x - y + 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\1 + 2t - 3 - t + 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 7\\y =  - 1\\t =  - 4\end{array} \right.\)

Vậy hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng \( - 7\).

c) \(d\left( {O,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| 6 \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt 2 }}\).

d) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 1;2} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 1;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _2}\).

\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;    c) Sai;    d) Sai.