Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm một món chính trong năm món chính, một loại quả tráng miệng trong năm loại quả tráng miệng và một loại nước uống trong ba loại nước uống. Số cách chọn thực đơn là

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức khai triển của \({\left( {a + b} \right)^5}\) lần lượt cho \(a = \sqrt 5 \) và \(b = 1\), rồi cho \(a = \sqrt 5 \) và \(b =  - 1\), ta có

\({\left( {\sqrt 5  + 1} \right)^5} - {\left( {\sqrt 5  - 1} \right)^5}\)

\( = \left( {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5} + 5{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 5\sqrt 5  + 1} \right)\)

\( - \left( {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5} - 5{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} - 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 5\sqrt 5  - 1} \right)\)

\( = 10.{\left( {\sqrt 5 } \right)^4} + 20.{\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 2\)

\( = 10\,\,.\,25 + 20\,\,.\,\,5 + 2 = 352\)

Số cách chọn 4 học sinh bất kì từ 12 học sinh là \(C_{12}^4 = 495\) cách.

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:

\( * \) TH1: Lớp \(A\) có 2 học sinh, các lớp \(B,C\) mỗi lớp có 1 học sinh:

Chọn 2 học sinh trong 5 học sinh lớp \(A\) có \(C_5^2\) cách.

Chọn 1 học sinh trong 4 học sinh lớp \(B\) có \(C_4^1\) cách.

Chọn 1 học sinh trong 3 học sinh lớp \(C\) có \(C_3^1\) cách.

Suy ra số cách chọn là \(C_5^2.C_4^1.C_3^1 = 120\) cách.

\( * \) TH2: Lớp \(B\) có 2 học sinh, các lớp \(A,C\) mỗi lớp có 1 học sinh:

Tương tự ta có số cách chọn là \(C_5^1.C_4^2.C_3^1 = 90\) cách.

\( * \) TH3: Lớp \(C\) có 2 học sinh, các lớp \(A,B\) mỗi lớp có 1 học sinh:

Tương tự ta có số cách chọn là \(C_5^1.C_4^1.C_3^2 = 60\) cách.

Vậy số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là \(120 + 90 + 60 = 270\) cách.

Số cách chọn ra 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên là \(495 - 270 = 225\) cách.