Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {2;1} \right),B\left( { - 1;4} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 + t\end{array} \right.\).

Lời giải

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;3} \right)\).

Có \(\overrightarrow n  = \left( {1;1} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;3} \right)\) nên đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(x + y - 3 = 0\).

b) Dạng tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là \(x + 3y - 7 = 0\).

\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2 + 3 \cdot 1 - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\).

c) Dạng tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là \(x + 3y - 7 = 0\).

d) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( { - 3;1} \right)\).

Vì \(\overrightarrow u  = \left( {3; - 1} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( { - 3;1} \right)\) nên \(\overrightarrow u  = \left( {3; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;   c) Sai;    d) Đúng.