Có 4 học sinh nam, 3 học sinh nữ và 2 thầy giáo xếp thành một hàng dọc tham gia một cuộc thi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng sao cho nhóm 3 học sinh nữ luôn đứng cạnh nhau và nhóm hai thầy giáo cũng luôn đứng cạnh nhau?

Lời giải

Ta có \({\left( {\frac{x}{2} - \frac{4}{x}} \right)^4} = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} {\left( {\frac{x}{2}} \right)^{4 - k}}{\left( { - \frac{4}{x}} \right)^k}\)\( = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k}  \cdot {\left( { - 1} \right)^k} \cdot {2^{3k - 4}} \cdot {x^{4 - 2k}}\).

Số hạng không chứa \(x\) thì \(4 - 2k = 0 \Leftrightarrow k = 2\).

Khi đó hệ số của số hạng không chứa \(x\) là \(C_4^2 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} \cdot {2^{6 - 4}} = 24\).

Trả lời: 24.

Lời giải

a) Số cách chọn 4 bông tùy ý là \(C_9^4 = 126\) bông.

b) TH1: Chọn 3 bông hồng và 2 bông trắng có \(C_5^3 \cdot C_4^2 = 60\) cách.

TH2: Chọn 4 bông hồng và 1 bông trắng có \(C_5^4 \cdot C_4^1 = 20\) cách.

Vậy số cách chọn 5 bông trong đó có đủ hai màu và số bông hông nhiều hơn bông trắng là \(60 + 20 = 80\) cách.

c) Số cách chọn 4 bông không có đủ hai màu là \(C_5^4 + C_4^4 = 6\) cách.

Suy ra số cách chọn 4 bông hoa có đủ hai màu là \(126 - 6 = 120\) cách.

d) Số cách chọn 6 bông mà số bông hai màu bằng nhau là \(C_5^3 \cdot C_4^3 = 40\) cách.

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;    c) Đúng;   d) Sai.