Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - y + 1 = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\) . Tìm tọa độ điểm \(M \in d\) sao cho từ \(M\) kẻ được hai tiếp tuyến \(MA,MB\) thỏa mãn khoảng cách từ \(N\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) đến đường thẳng\(AB\) bằng 1.
Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\).
Ta có điểm \(M\)thuộc \(d:x - y + 1 = 0\) nên \(M\left( {a;a + 1} \right)\).
Gọi \(K\) trung điểm của \(MI\)thì \(K\left( {\frac{{a + 1}}{2};\frac{{a - 1}}{2}} \right)\).
Vì \(\Delta MAI\) và \(\Delta MBI\) lần lượt vuông tại \(A\) và \(B\) (định nghĩa tiếp tuyến) nên \(KA = KB = \frac{1}{2}MI\).
Đường tròn \(\left( {C'} \right)\) tâm \(K\), đường kính \(MI\) nên có phương trình
\({\left( {x - \frac{{a + 1}}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{a - 1}}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2} + 2a + 5}}{2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - \left( {a + 1} \right)x - \left( {a - 1} \right)y - a - 2 = 0\).
Đường thẳng \(AB\) là giao của hai đường tròn \(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right)\) nên tọa độ điểm \(A,B\) thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\\{x^2} + {y^2} - \left( {a + 1} \right)x - \left( {a - 1} \right)y - a - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left( {1 - a} \right)x - \left( {a + 3} \right)y - a + 2 = 0\).
Suy ra đường thẳng\(AB\) có phương trình \(\left( {1 - a} \right)x - \left( {a + 3} \right)y - a + 2 = 0\).
Khoảng cách từ \(N\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)đến \(AB\) là \(d\left( {N,AB} \right) = \frac{{\left| {1 - 3a} \right|}}{{2\sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( {a + 3} \right)}^2}} }} = 1\).
\[ \Rightarrow 2\sqrt {2{a^2} + 4a + 10} = \left| {1 - 3a} \right|\]
\( \Rightarrow 4\left( {2{a^2} + 4a + 10} \right) = 9{a^2} - 6a + 1\)
\( \Leftrightarrow {a^2} - 22a - 39 = 0 \Leftrightarrow a = 11 \pm 4\sqrt {10} \).
Thử lại ta thấy cả hai giá trị của \(a\) đều thỏa mãn.
Vậy \(M\left( {11 + 4\sqrt {10} ;12 + 4\sqrt {10} } \right)\) hoặc \(M\left( {11 - 4\sqrt {10} ;12 - 4\sqrt {10} } \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \[{d_1}\] và \({d_2}\) song song với nhau;
B. \[{d_1}\] và \({d_2}\) trùng nhau;
C. \[{d_1}\] và \({d_2}\) cắt nhau và không vuông góc với nhau;
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \({d_1}:2x + 3y + 15 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,\,3} \right)\) và đường thẳng \({d_2}:x - 2y - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\, - 2} \right)\).
Ta thấy \(\frac{2}{1} \ne \frac{3}{{ - 2}}\) và \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 2.1 + 3.\left( { - 2} \right) = - 4 \ne 0\).
Vậy \[{d_1}\] và \({d_2}\) cắt nhau và không vuông góc với nhau.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {2;\, - 1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;\, - 3} \right)\) là \(2\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y + 1} \right) = 0\) hay \(2x - 3y - 7 = 0\).
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\);
B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\);
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \[S = \left( { - \infty ;\,\, - \frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {2;\,\, + \infty } \right)\];
B. \(S = \left( { - 2;\,\,\frac{1}{2}} \right)\);
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(f\left( x \right) > 0,\,\,\forall \,x \in \left( { - \infty \,;\,1} \right) \cup \,\,\left( {5\,;\, + \infty } \right)\);
B. \(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {1;\,\,5} \right)\);
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập