Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - y + 1 = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\) . Tìm tọa độ điểm \(M \in d\) sao cho từ \(M\) kẻ được hai tiếp tuyến \(MA,MB\) thỏa mãn khoảng cách từ \(N\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) đến đường thẳng\(AB\) bằng 1.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng \({d_1}:2x + 3y + 15 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\,\,3} \right)\) và đường thẳng \({d_2}:x - 2y - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\, - 2} \right)\).

Ta thấy \(\frac{2}{1} \ne \frac{3}{{ - 2}}\) và \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 2.1 + 3.\left( { - 2} \right) =  - 4 \ne 0\).

Vậy \[{d_1}\] và \({d_2}\) cắt nhau và không vuông góc với nhau.

Ta có \(3{x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x - {m^2} + 2m + 8 = 0 \Leftrightarrow x = m + 2\) hoặc \(x = \frac{{4 - m}}{3}\).

* Với \(m + 2 > \frac{{4 - m}}{3} \Leftrightarrow 3m + 6 > 4 - m \Leftrightarrow m >  - \frac{1}{2}\) ta có

Bất phương trình (1)\( \Leftrightarrow \frac{{4 - m}}{3} \le x \le m + 2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là \(\left[ {\frac{{4 - m}}{3};m + 2} \right]\)

Suy ra mọi \[x \in \left[ { - 1;1} \right]\] đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi \[\left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ {\frac{{4 - m}}{3};m + 2} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 \ge \frac{{4 - m}}{3}}\\{1 \le m + 2}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge 7}\\{m \ge  - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \ge 7\).

Kết hợp với điều kiện \(m >  - \frac{1}{2}\) ta có \(m \ge 7\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

* Với \(m + 2 < \frac{{4 - m}}{3} \Leftrightarrow m <  - \frac{1}{2}\) ta có

Bất phương trình (1)\( \Leftrightarrow m + 2 \le x \le \frac{{4 - m}}{3}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là \(\left[ {m + 2;\frac{{4 - m}}{3}} \right]\)

Suy ra mọi \[x \in \left[ { - 1;1} \right]\] đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi \[\left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ {m + 2;\frac{{4 - m}}{3}} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 \ge m + 2}\\{1 \le \frac{{4 - m}}{3}}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le  - 3}\\{m \le 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le  - 3\).

Kết hợp với điều kiện \(m <  - \frac{1}{2}\) ta có \(m \le  - 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* Với \(m =  - \frac{1}{2}\) ta có bất phương trình (1)\( \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\)  nên \(m =  - \frac{1}{2}\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy \(m \in ( - \infty ; - 3] \cup {\rm{[}}7; + \infty )\) là giá trị cần tìm.