Hypebol có tỉ số \(\frac{c}{a} = \sqrt 5 \) và đi qua điểm \(M\left( {1;\,0} \right)\) có phương trình chính tắc là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(M(4;2) \in d \Leftrightarrow 4 + 2b + c = 0 \Rightarrow c =  - 4 - 2b.\)

\(d(A,d) = \frac{{\left| {1 + c} \right|}}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \Leftrightarrow 10{(1 + c)^2} = 9(1 + {b^2})\)(1)

Thay \(c =  - 4 - 2b\) vào phương trình (1) ta có: \[31{b^2} + 120b + 81 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 3\\b =  - \frac{{27}}{{31}}\end{array} \right.\]

Vì \(b\) là số nguyên nên \(b =  - 3,c = 2 \Rightarrow b + c =  - 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 2\).

Do đó đường tròn có tâm \(I = \left( {1;\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 2 \).

Do \(d\) song song với đường thẳng \(\Delta \) nên \(d\) có phương trình là \(3x + 4y + k = 0\), \(\left( {k \ne 1} \right)\).

Ta có:

 \(d\left( {I;\,d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {11 + k} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \sqrt 2  \Leftrightarrow \left| {11 + k} \right| = 5\sqrt 2  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}11 + k = 5\sqrt 2 \\11 + k =  - 5\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 5\sqrt 2  - 11\\k =  - 5\sqrt 2  - 11\end{array} \right.\).

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(3x + 4y + 5\sqrt 2  - 11 = 0\), \(3x + 4y - 5\sqrt 2  - 11 = 0\).