Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(M(4;2)\) và cách điểm \(A(1;0)\) khoảng cách \(\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\). Biết rằng phương trình đường thẳng \(d\) có dạng\(x + by + c = 0\) với \(b,c\) là hai số nguyên. Tính \(b + c.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 2\).

Do đó đường tròn có tâm \(I = \left( {1;\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 2 \).

Do \(d\) song song với đường thẳng \(\Delta \) nên \(d\) có phương trình là \(3x + 4y + k = 0\), \(\left( {k \ne 1} \right)\).

Ta có:

 \(d\left( {I;\,d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {11 + k} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \sqrt 2  \Leftrightarrow \left| {11 + k} \right| = 5\sqrt 2  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}11 + k = 5\sqrt 2 \\11 + k =  - 5\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 5\sqrt 2  - 11\\k =  - 5\sqrt 2  - 11\end{array} \right.\).

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(3x + 4y + 5\sqrt 2  - 11 = 0\), \(3x + 4y - 5\sqrt 2  - 11 = 0\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {IA} \left( {8;\,\, - 3} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {73} \).

Suy ra bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) là \(R = \sqrt {73} \).

Khi đó phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) cần tìm là: \({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 73\).

b)

Từ điểm \(I\) kẻ \(IH\) vuông góc với đường thẳng \(d\left( {H \in d} \right)\).

Khi đó \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Khoảng cách từ điểm \(I\) đến đường thẳng \(d\) là: \(d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{10}}{5} = 2\).

Diện tích tam giác \(IAB\) bằng \(4\) nên độ dài cạnh \(AB\) bằng: \(2.4:2 = 4\).

\( \Rightarrow AH = HB = \frac{1}{2}AB = 2\).

Xét tam giác \(AIH\), vuông tại \(H\) có: \(IA = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \).

Khi đó phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và bán kính \(IA = 2\sqrt 2 \) là:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8\).