a) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 2;3} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {6;0} \right)\). Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\).

b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:3x - 4y - 1 = 0\) và điểm \(I\left( {1; - 2} \right)\). Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn tâm \(I\) và cắt đường thẳng \(d\) tại hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(IAB\)  có diện tích bằng \(4\). Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(M(4;2) \in d \Leftrightarrow 4 + 2b + c = 0 \Rightarrow c =  - 4 - 2b.\)

\(d(A,d) = \frac{{\left| {1 + c} \right|}}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \Leftrightarrow 10{(1 + c)^2} = 9(1 + {b^2})\)(1)

Thay \(c =  - 4 - 2b\) vào phương trình (1) ta có: \[31{b^2} + 120b + 81 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 3\\b =  - \frac{{27}}{{31}}\end{array} \right.\]

Vì \(b\) là số nguyên nên \(b =  - 3,c = 2 \Rightarrow b + c =  - 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 2\).

Do đó đường tròn có tâm \(I = \left( {1;\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 2 \).

Do \(d\) song song với đường thẳng \(\Delta \) nên \(d\) có phương trình là \(3x + 4y + k = 0\), \(\left( {k \ne 1} \right)\).

Ta có:

 \(d\left( {I;\,d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {11 + k} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \sqrt 2  \Leftrightarrow \left| {11 + k} \right| = 5\sqrt 2  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}11 + k = 5\sqrt 2 \\11 + k =  - 5\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 5\sqrt 2  - 11\\k =  - 5\sqrt 2  - 11\end{array} \right.\).

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(3x + 4y + 5\sqrt 2  - 11 = 0\), \(3x + 4y - 5\sqrt 2  - 11 = 0\).