a) Tìm giá trị \[n \in N\] thỏa mãn \[C_{n + 1}^n + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3\].

b) Bảng sau ghi giá bán ra lúc 15 giờ của hai mã cổ phiếu \(M\) và \(N\) trong 10 ngày liên tiếp (đơn vị: nghìn đồng).

Ngày	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
\(M\)	25	25,1	25,3	15,5	25,6	25,5	25,4	25,5	25,4	25,2
\(N\)	27	27,4	27,8	48,2	29	28,8	28,8	28,8	28,6	29,2

 

Biết có 1 trong 10 ngày trên có sự bất thường trong giá cổ phiếu. Hãy tìm ngày đó và giải thích. Sau khi bỏ đi ngày có giá trị bất thường, hãy cho biết giá cổ phiếu nào ổn định hơn. Tại sao?

Hướng dẫn giải

a) \[C_{n + 1}^n + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3\,\left( {n \in N,\,n \ge 2} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{1!n!}} + 3.\frac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{2!.n!}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{3!.\left( {n - 2} \right)!}}\]

\[ \Leftrightarrow n + 1 + 3.\frac{{\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)}}{6}\]

\[ \Leftrightarrow 1 + 3.\frac{{\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right).n}}{6}\]

\[ \Leftrightarrow 6 + 9n + 18 = {n^2} - n\]

\[ \Leftrightarrow {n^2} - 10n - 24 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n =  - 2\\n = 12\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.\]

Vậy \[n = 12\] là giá trị cần tìm.

b) Sắp xếp mẫu số liệu mã cổ phiếu \(M\) theo thứ tự không giảm, ta được:

15,5   25      25,1   25,2   25,3   25,4   25,4   25,5   25,5   25,6

Vì mẫu số liệu gồm 10 số liệu (là số chẵn) nên trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của hai số chính giữa, là số ở vị trí thứ 5 và thứ 6. Do đó, trung vị của mẫu số liệu hay tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \({Q_2} = \frac{{25,3 + 25,4}}{2} = 25,35\).

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy: 15,5          25      25,1   25,2   25,3.

Do đó, \({Q_1} = 25,1\).

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy: 25,4   25,4   25,5   25,5   25,6.

Do đó, \({Q_3} = 25,5\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 25,5 - 25,1 = 0,4\).

Ta có: \({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 25,1 - 1,5 \cdot 0,4 = 24,5\); \({Q_3} + 1,5{\Delta _Q} = 25,5 + 1,5 \cdot 0,4 = 26,1\).

Trong mẫu số liệu đã cho có giá trị 15,5 < 24,5.

Do đó, mẫu số liệu mã cổ phiếu \(M\) có giá trị bất thường là 15,5 rơi vào ngày thứ 4.

• Sắp xếp mẫu số liệu mã cổ phiếu \(N\) theo thứ tự không giảm, ta được:

27      27,4   27,8   28,6   28,8   28,8   28,8   29      29,2   48,2

Vì mẫu số liệu gồm 10 số liệu (là số chẵn) nên trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của hai số chính giữa, là số ở vị trí thứ 5 và thứ 6. Do đó, trung vị của mẫu số liệu hay tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \({Q'_2} = \frac{{28,8 + 28,8}}{2} = 28,8\).

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy: 27   27,4   27,8   28,6   28,8.

Do đó, \({Q'_1} = 27,8\).

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy: 28,8   28,8   29      29,2   48,2.

Do đó, \({Q'_3} = 29\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta '_Q} = {Q'_3} - {Q'_1} = 29 - 27,8 = 1,2\).

Ta có: \({Q'_1} - 1,5{\Delta '_Q} = 27,8 - 1,5 \cdot 1,2 = 26\); \({Q'_3} + 1,5{\Delta '_Q} = 29 + 1,5 \cdot 1,2 = 30,8\).

Trong mẫu số liệu đã cho có giá trị 48,2 > 30,8.

Do đó, mẫu số liệu mã cổ phiếu \(N\) có giá trị bất thường là 48,2 rơi vào ngày thứ 4.

Vậy ta kiểm tra được giá trị bất thường rơi vào ngày thứ 4.

Khi bỏ đi ngày có giá trị bất thường, ta có bảng sau:

So sánh phương sai mẫu số liệu mã cổ phiếu \(M\) và \(N\) để kiểm tra tính ổn định của mẫu.

Số trung bình của mẫu số liệu \(M\) là:

\(\overline {{X_M}}  = \frac{{\,25\;\, + 25,1\;\, + \;25,2\; + \;25,3\; + \;25,4\; + \;25,4\; + 25,5\; + \;25,5\; + \;25,6}}{9} = \frac{{76}}{3}\).

Phương sai mẫu số liệu \(M\) là:

\(s_M^2 = \frac{{{{\left( {25 - \frac{{76}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {25,1 - \frac{{76}}{3}} \right)}^2} + ... + {{\left( {25,6 - \frac{{76}}{3}} \right)}^2}}}{9} \approx 0,04\).

Số trung bình của mẫu số liệu \(N\) là:

\(\overline {X{ & _N}}  = \frac{{27\; + \;27,4\; + \;27,8\; + \;28,6\; + \;28,8\; + \;28,8\; + \;28,8\; + \;29\; + \;29,2}}{9} \approx 28,38\).

Phương sai mẫu số liệu \(N\) là:

\(s_N^2 = \frac{{{{\left( {27 - 28,38} \right)}^2} + {{\left( {27,4 - 28,38} \right)}^2} + ... + {{\left( {29,2 - 28,38} \right)}^2}}}{9} \approx 0,54\).

Vì 0,54 > 0,04 nên \(s_N^2 > s_M^2\), do đó giá của mã cổ phiếu \(M\) ổn định hơn giá của mã cổ phiếu \(N\).

Vậy sau khi bỏ đi giá cổ phiếu của ngày thứ 4 rồi so sánh phương sai mẫu, ta thấy giá của mã cổ phiếu \(M\) ổn định hơn giá của mã cổ phiếu \(N\).