Đọc đoạn trích và trả lời câu hỏi dưới đây.

     Cu Cậu dĩ nhiên vẫn tự mình kiếm ăn. Nó ăn ruồi, muỗi và sâu bọ. Nhưng Tường vẫn sợ Cu Cậu không đủ no. Nó chuốt tre, đan một cái vỉ hình tam giác, lúc rảnh rỗi lại cầm đi săn ruồi. Bữa ăn nào, Tường cũng nhặt cơm rơi vãi, gom lại để dành cho Cu Cậu. Đêm nào Cu Cậu nghiến răng ken két dưới gầm giường, sáng hôm sau thế nào trời cũng mưa. Những ngày mưa đối với anh em chúng tôi luôn là những ngày tuyệt vời. Trong khi tôi và Tường mặc nguyên quần áo dầm mưa và rượt nhau ngoài trời, Cu Cậu cũng hớn hở nhảy khỏi gầm giường, men ra tới cửa để rình đớp những chú mối bay ngang.

(Nguyễn Nhật Ánh, Tôi thấy hoa vàng trên cỏ xanh, NXB Trẻ, Thành phố Hồ Chí Minh, 2017)

Cái tên Cu Cậu trong đoạn trích trên chỉ con vật nào?

Đáp án đúng là "8/11"

Phương pháp giải

Vận dụng công thức Bernoulli, công thức Bayes.

Lời giải

Gọi A là biến cố "Chai rượu đó là chai rượu loại A", B  là biến cố "Chai rượu đó là chai rượu loại B". Dễ thấy \(A = \overline B \).

Gọi \(H\) là biến cố "3 người kết luận đó là loại rượu A, 2 người kết luận đó là loại rượu B".

Xác suất cần tính là \(P\left( {A\mid H} \right)\).

Có \(P\left( A \right) = \frac{2}{5} = 0,4;\,\,P\left( B \right) = \frac{3}{5} = 0,6\) do số lượng chai rượu loại A bằng \(\frac{2}{3}\) số chai rượu loại B.

Xác suất \(P\left( {H\mid A} \right)\) chính là xác suất "3 người kết luận đúng, 2 người kết luận sai khi đó là loại rượu A". Khi đó, theo công thức Bernoulli, ta có: \(P\left( {H|A} \right) = C_5^3.0,{8^3}.{(1 - 0,8)^{5 - 3}} = 0,2048\)

Một cách tương tự, ta tính được: \(P\left( {H|B} \right) = C_5^2.0,{8^2}.{(1 - 0,8)^{5 - 2}} = 0,0512\).

Khi đó, theo công thức Bayes, xác suất cần tính là:

\(P\left( {A\mid H} \right) = \frac{{P\left( {AH} \right)}}{{P\left( H \right)}} = \frac{{P\left( {H\mid A} \right)P\left( A \right)}}{{P\left( {H\mid A} \right)P\left( A \right) + P\left( {H\mid B} \right)P\left( B \right)}}\)

\(P\left( {A\mid H} \right) = \frac{{0,2048.0,4}}{{0,2048.0,4 + 0.0512.0,6}} = \frac{8}{{11}}\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Tìm điều kiện để học sinh đạt ít nhất 8 điểm, sau đó vận dụng công thức Bernoulli.

Lời giải

Gọi số câu hỏi mà học sinh đó trả lời đúng là \(x\).

Để học sinh đó đạt được tối thiểu 8 điểm trong bài kiểm tra thì:

\(0,5x - 0,2.\left( {20 - x} \right) \ge 8 \Leftrightarrow x \ge \frac{{120}}{7}\)

\( \Rightarrow \) Học sinh đó cần trả lời đúng ít nhất 18 câu để có thể đạt tối thiểu 8 điểm.

Theo công thức Bernoulli, xác suất để học sinh đó trả lời đúng \(i\) câu là:

\(P\left( {x = i} \right) = C_{20}^i.{(0,25)^i}.{(0,75)^{20 - i}}\)

Khi đó, xác suất để học sinh đó trả lời đúng ít nhất 18 câu là: