Trong một tuần, nhiệt độ cao nhất trong ngày (đơn vị: °C) tại hai thành phố Hà Nội và Hồ Chí Minh được cho như sau:

Hà Nội	28	27	30	29	27	25	24	29	26
Hồ Chí Minh	31	33	32	33	29	32	34	33	31

 a) Hãy tìm số trung bình, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn của mỗi mẫu số liệu trên.

b) Có nhận xét gì về sự biến động của nhiệt độ cao nhất trong ngày trong một tuần tại hai thành phố này.

Hướng dẫn giải

a)

* Hà Nội

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

24      25      26      27      27      28      29      29      30.

+ Nhiệt độ trung bình là

\(\overline X  = \frac{{24 + 25 + 26 + 27 \cdot 2 + 28 + 29 \cdot 2 + 30}}{9} = \frac{{245}}{9}\).

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R = 30 - 24 = 6\).

+ Vì mẫu có 9 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai là số ở vị trí thứ 5. Do đó, \({Q_2} = 27\).

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 24       25    26      27.

Do đó, \({Q_1} = \frac{{25 + 26}}{2} = 25,5\).

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 28        29      29      30.

Do đó, \({Q_3} = \frac{{29 + 29}}{2} = 29\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 29 - 25,5 = 3,5\).

+ Phương sai mẫu số liệu là

\({s^2} = \frac{{{{\left( {24 - \frac{{245}}{9}} \right)}^2} + {{\left( {25 - \frac{{245}}{9}} \right)}^2} + ... + {{\left( {30 - \frac{{245}}{9}} \right)}^2}}}{9} \approx 3,51\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là \(s = \sqrt {{s^2}}  \approx \sqrt {3,51}  \approx 1,87\).

* Hồ Chí Minh

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

29      31      31      32      32      33      33      33      34.

+ Nhiệt độ trung bình là

\(\overline {X'}  = \frac{{29 + 31 \cdot 2 + 32 \cdot 2 + 33 \cdot 3 + 34}}{9} = 32\).

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R' = 34 - 29 = 5\).

+ Vì mẫu có 9 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai là số ở vị trí thứ 5.

Do đó, \({Q'_2} = 32\).

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 29     31      31      32.

Do đó, \({Q'_1} = \frac{{31 + 31}}{2} = 31\).

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 33        33      33      34.

Do đó, \({Q'_3} = \frac{{33 + 33}}{2} = 33\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta '_Q} = {Q'_3} - {Q'_1} = 33 - 31 = 2\).

+ Phương sai mẫu số liệu là

\({s'^2} = \frac{{{{\left( {29 - 32} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {31 - 32} \right)}^2} + ... + {{\left( {34 - 32} \right)}^2}}}{9} = 2\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là \(s' = \sqrt {{{s'}^2}}  = \sqrt 2  \approx 1,41\).

b) Từ câu a, ta thấy khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn của dãy số liệu về nhiệt độ cao nhất trong ngày trong một tuần tại thành phố Hồ Chí Minh đều nhỏ hơn các số đặc trưng này tại Hà Nội nên ta khẳng định rằng nhiệt độ cao nhất trong ngày trong một tuần ở thành phố Hồ Chí Minh ít biến động hơn.