Một người quan sát đỉnh của một ngọn núi nhân tạo từ hai vị trí khác nhau của tòa nhà \(AB\) cao 50 m. Đầu tiên, người đó đứng ở chân tòa nhà, quan sát đỉnh núi với góc nâng \({55^ \circ }\). Sau đó, người này đứng ở đỉnh tòa nhà, quan sát đỉnh núi với góc nâng \({20^ \circ }\). Biết khoảng cách từ mắt đến chân người đó là 1,5m (tham khảo hình vẽ). Tính chiều cao \(CD\) của ngọn núi (kết quả tính làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính: mét).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Áp dụng công thức: \(T = A.{(1 + r)^n}\).

Lời giải

Số kì hạn (tháng) trả lãi của anh Thành sau 3 năm là: \(3.12 = 36\) (tháng)

Số tiền cả gốc lẫn lãi anh Thành phải trả cho ngân hàng sau đúng 3 năm kể từ ngày vay là:

\(400.{(1 + 1{\rm{\% }})^{36}} \approx 572,3\) (triệu đồng)

Vậy trong các số đề cho, số tiền anh Thành phải trả gần nhất với 573 triệu đồng.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Sự tương giao giữa hai đồ thị.

Lời giải

\({\left( {2{x^2} + 4x + 2} \right)^{\frac{3}{4}}}.f\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow f\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = {\left[ {2\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)} \right]^{ - \frac{3}{4}}}\) (*)

Đặt \(t = {x^2} + 2x + 1\). Ta có \(t = {(x + 1)^2} \ge 0\). Khi đó (*) trở thành \(f\left( t \right) = {(2t)^{ - \frac{3}{4}}}\).

Xét hàm số \(g\left( t \right) = {(2t)^{ - \frac{3}{4}}}\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

\(g'\left( t \right) = - \frac{3}{2}{(2t)^{ - \frac{7}{4}}} < 0\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó hàm số \(g\left( t \right) = {(2t)^{ - \frac{3}{4}}}\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

BBT

Dựa vào bảng biến thiên, ta có sự tương giao của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và \(y = g\left( t \right)\) như sau:

Do đó, phương trình \(f\left( t \right) = {(2t)^{ - \frac{3}{4}}}\) có hai nghiệm \(t\) dương phân biệt là \({t_1}\) và \({t_2}\).

Suy ra \({x^2} + 2x + 1 = {t_1}\,\,(1) \vee {x^2} + 2x + 1 = {t_2}\,\,(2)\).

Phương trình (1) có \({\rm{\Delta '}} = 1 - 1 + {t_1} = {t_1} > 0\) nên có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Phương trình (2) có \({\rm{\Delta '}} = 1 - 1 + {t_2} = {t_2} > 0\) nên có hai nghiệm phân biệt \({x_3},{x_4}\) khác \({x_1},{x_2}\).

Vậy phương trình \({\left( {2{x^2} + 4x + 2} \right)^{\frac{3}{4}}}.f\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 1\) có số nghiệm là 4.