Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - 2y - 2 = 0\) và ba điểm \(A\left( {3;4} \right),B\left( { - 1;2} \right),C\left( {0;1} \right)\). Biết rằng tồn tại duy nhất điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\) để biểu thức \(\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức \(P = a + 2b\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - 2y - 2 = 0\) và ba điểm \(A\left( {3;4} \right),B\left( { - 1;2} \right),C\left( {0;1} \right)\). Biết rằng tồn tại duy nhất điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\) để biểu thức \(\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức \(P = a + 2b\).
Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 9 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Giả sử \(I\left( {m;n} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).
Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {3 - m;4 - n} \right);\overrightarrow {IB} = \left( { - 1 - m;2 - n} \right);\overrightarrow {IC} = \left( { - m;1 - n} \right)\).
Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3 - m - 2\left( { - 1 - m} \right) + 3\left( { - m} \right) = 0\\4 - n - 2\left( {2 - n} \right) + 3\left( {1 - n} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{5}{2}\\n = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {MI} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IC} = 2\overrightarrow {MI} \).
Để \(\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(I\) trên đường thẳng \(d\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là
\(2\left( {x - \frac{5}{2}} \right) + \left( {y - \frac{3}{2}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - \frac{{13}}{2} = 0\).
Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - \frac{{13}}{2} = 0\\x - 2y - 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {3;\frac{1}{2}} \right)\).
\(P = a + 2b = 4\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Do tính đối xứng của hypebol nên ta có hai bán kính của nóc và đáy tháp đều bằng \(r\).
Do điểm \(M\left( {r;50} \right)\) nằm trên hypebol nên thay tọa độ của điểm \(M\) vào phương trình của hypebol ta có \(\frac{{{r^2}}}{{{{18}^2}}} - \frac{{{{50}^2}}}{{{{36}^2}}} = 1 \Rightarrow r = 18\sqrt {1 + \frac{{{{50}^2}}}{{{{36}^2}}}} \approx 31\) m.
Vậy bán kính của nóc và đáy của tháp bằng 31 m.
Lời giải
Đáp án:
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;48} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).
Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {37;48} \right)\)là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AC\) nên \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 48;37} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AC\).
Góc lệch của Phà với lúc dự tính ban đầu chính là góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(AC\).
Ta có \(\cos \left( {AB,AC} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 48} \right) + 0 \cdot 37} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 48} \right)}^2} + {{37}^2}} }} = \frac{{48}}{{\sqrt {3673} }}\)\( \Rightarrow \widehat A \approx 38^\circ \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a) Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng 2.
b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {1;2} \right)\).
c) Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và đường thẳng \(d:x + y - 1 = 0\). Khi đó \(\tan \alpha = \frac{1}{7}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập