Cho hai điểm \(A\left( {3; - 3} \right),B\left( { - 1; - 5} \right)\) và đường thẳng \(d:4x - 3y - 2 = 0\).

Đường thẳng \(d\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {4; - 3} \right)\).

Có \(\overrightarrow u = \left( {3;4} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow n = \left( {4; - 3} \right)\) nên \(\overrightarrow u = \left( {3;4} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

a) Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với \(d\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {3;4} \right)\)làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x - 3} \right) + 4\left( {y + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 4y + 3 = 0\).

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(I\left( {1; - 4} \right)\). Có \(AB = \sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 5 + 3} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \).

Đường tròn đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {1; - 4} \right)\) và \(R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt 5 \) có phương trình là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 5\).

c) Có \(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {4 \cdot 3 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{19}}{5}\); \(d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| {4 \cdot \left( { - 1} \right) - 3 \cdot \left( { - 5} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{9}{5}\).

Suy ra \(d\left( {A,d} \right) > d\left( {B,d} \right)\).

d) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2} \right)\). Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)\) vuông góc \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(AB\).

Ta có \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {{n_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {4 \cdot 1 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{10}}{{5\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

Đáp án: a) Sai;    b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.