Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hình thang \(ABCD\) có đáy lớn \(CD = 3AB\), \(C\left( { - 3; - 3} \right)\), trung điểm của \(AD\) là \(M\left( {3;1} \right);{S_{BCD}} = 18,AB = \sqrt {10} \) và đỉnh \(D\) có hoành độ nguyên dương. Giả sử điểm \(B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Tính \(3{x_B} - {y_B}.\)

Gọi \[\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\] với \({a^2} + {b^2} \ne 0\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(CD\).

Khi đó đường thẳng \(CD\) đi qua điểm \(C\left( { - 3; - 3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\] có phương trình là

\(a\left( {x + 3} \right) + b\left( {y + 3} \right) = 0 \Rightarrow ax + by + 3a + 3b = 0\).

Vì \(CD = 3AB\) nên \(CD = 3\sqrt {10} \). Khi đó \(d\left( {A,CD} \right) = \frac{{2{S_{BCD}}}}{{CD}} = \frac{{36}}{{3\sqrt {10} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {10} }}\).

Suy ra \(d\left( {M,CD} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,CD} \right) = \frac{6}{{\sqrt {10} }}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3a + b + 3a + 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {10} }}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\)

\( \Leftrightarrow 10{\left( {3a + 2b} \right)^2} = 9\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 81{a^2} + 120ab + 31{b^2} = 0\)\( \Leftrightarrow a = - \frac{1}{3}b\) hoặc \(a = - \frac{{31}}{{27}}b\).

TH1: \(a = - \frac{1}{3}b\).

Chọn \(b = - 3\) thì \(a = 1\). Khi đó phương trình đường thẳng \(CD:x - 3y - 6 = 0 \Rightarrow D\left( {3d + 6;d} \right)\).

Ta có \(C{D^2} = 90\)\( \Leftrightarrow {\left( {3d + 9} \right)^2} + {\left( {d + 3} \right)^2} = 90 \Leftrightarrow {\left( {d + 3} \right)^2} = 9\)\( \Leftrightarrow d = 0\) hoặc \(d = - 6\).

Suy ra \(D\left( {6;0} \right)\) (thỏa mãn) hay \(D\left( { - 12; - 6} \right)\) (loại).

Vậy \(D\left( {6;0} \right) \Rightarrow A\left( {0;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} = \left( { - 3; - 1} \right)\)\( \Rightarrow B\left( { - 3;1} \right)\).

TH2: \(a = - \frac{{31}}{{27}}b\).

Chọn \(b = - 27 \Rightarrow a = 31\). Khi đó \(CD:31x - 27y + 12 = 0\)\( \Rightarrow D\left( {d;\frac{{31d + 12}}{{27}}} \right)\).

Suy ra \(C{D^2} = {\left( {d + 3} \right)^2} + {\left( {\frac{{31d + 93}}{{27}}} \right)^2} = 90\)\( \Rightarrow {\left( {d + 3} \right)^2} = \frac{{6561}}{{169}}\) (loại).

Vậy \(B\left( { - 3;1} \right)\)\( \Rightarrow 3a - b = - 10\).