Cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 25\) tiếp xúc với đường thẳng \(d:3x + 4y + 1 = 0\) tại \(A\left( {1; - 1} \right)\). Tính \(\frac{a}{b}\) (biết \(a < 0\)).

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(R = 5\).

Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {1 - a; - 1 - b} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;4} \right)\).

Vì đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 25\) tiếp xúc với đường thẳng \(d:3x + 4y + 1 = 0\) tại \(A\left( {1; - 1} \right)\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2} = 25\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\9{k^2} + 16{k^2} = 25\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\{k^2} = 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\k = \pm 1\end{array} \right.\].

Với \(k = 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 5\end{array} \right.\); Với \(k = - 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right.\).

Vì \(a < 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 5\end{array} \right.\). Suy ra \(\frac{a}{b} = 0,4\).