Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\) và điểm \(M\left( {0;1} \right)\) thuộc \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến tại \(M\) của \(\left( C \right)\).

Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{F_1}{F_2} = 2c = 6\\M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 3\\a = 5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} = \sqrt {25 - 9} = 4\).

Vậy phương trình \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Gọi hình chữ nhật nội tiếp elip có tọa độ các đỉnh lần lượt là \(\left( {x;y} \right);\left( {x; - y} \right);\left( { - x;y} \right);\left( { - x; - y} \right)\) với \(x,y > 0\).

Khi đó diện tích hình chữ nhật là \(S = 2x \cdot 2y = 4xy\).

Vì \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Rightarrow y = 4\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}} \). Do đó \(S = 16x\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}} \)\( = \frac{{16}}{5}\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \).

Ta có \(\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \le \frac{{{x^2} + 25 - {x^2}}}{2} = \frac{{25}}{2}\) (Áp dụng bất đẳng thức Côsi).

Do đó \(S \le \frac{{16}}{5} \cdot \frac{{25}}{2} = 40\).

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật dùng để trồng hoa là 40 m².

Gọi \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\).

Vì elip \(\left( E \right)\) đi qua hai điểm \(P\left( {0;8} \right),Q\left( {6; - \frac{{32}}{5}} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{64}}{{{b^2}}} = 1\\\frac{{36}}{{{a^2}}} + \frac{{1024}}{{25{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = 64\\{a^2} = 100\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\).

Cho \(y = 0\) thì \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{0}{{64}} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 10\).

Vậy hoành độ giao điểm của \(\left( E \right)\) với tia \(Ox\) là \(10\).