Một công viên hình elip có khoảng cách giữa hai tiêu điểm \({F_1}{F_2} = 6\;\left( {\rm{m}} \right)\) và tổng khoảng cách đo được từ một điểm \(M\) bất kì thuộc elip đến hai tiêu điểm bằng \(10\;\left( {\rm{m}} \right)\). Bên trong người ta rào thành một hình chữ nhật nội tiếp elip như hình vẽ để trồng hoa. Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật dùng để trồng hoa (đơn vị m2)?
Một công viên hình elip có khoảng cách giữa hai tiêu điểm \({F_1}{F_2} = 6\;\left( {\rm{m}} \right)\) và tổng khoảng cách đo được từ một điểm \(M\) bất kì thuộc elip đến hai tiêu điểm bằng \(10\;\left( {\rm{m}} \right)\). Bên trong người ta rào thành một hình chữ nhật nội tiếp elip như hình vẽ để trồng hoa. Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật dùng để trồng hoa (đơn vị m2)?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
40
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{F_1}{F_2} = 2c = 6\\M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 3\\a = 5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} = \sqrt {25 - 9} = 4\).
Vậy phương trình \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
Gọi hình chữ nhật nội tiếp elip có tọa độ các đỉnh lần lượt là \(\left( {x;y} \right);\left( {x; - y} \right);\left( { - x;y} \right);\left( { - x; - y} \right)\) với \(x,y > 0\).
Khi đó diện tích hình chữ nhật là \(S = 2x \cdot 2y = 4xy\).
Vì \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Rightarrow y = 4\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}} \). Do đó \(S = 16x\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{25}}} \)\( = \frac{{16}}{5}\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \).
Ta có \(\sqrt {{x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)} \le \frac{{{x^2} + 25 - {x^2}}}{2} = \frac{{25}}{2}\) (Áp dụng bất đẳng thức Côsi).
Do đó \(S \le \frac{{16}}{5} \cdot \frac{{25}}{2} = 40\).
Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật dùng để trồng hoa là 40 m2.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Trọng tâm Lí, Hóa, Sinh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST và CD VietJack - Sách 2025 ( 40.000₫ )
- Trọng tâm Toán, Văn, Anh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST, CD VietJack - Sách 2025 ( 13.600₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 1\).
B. \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 12\).
C. \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 7\).
D. \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 26\).
Lời giải
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 2 \cdot 4 + \left( { - 1} \right) \cdot 7 = 1\). Chọn A.
Câu 2
a) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = - 18\).
Đúng
Sai
b) \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\).
Đúng
Sai
c) \(ABCD\) là hình bình hành khi \(D\left( {4; - 5} \right)\).
Đúng
Sai
d) Tọa độ trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\) là \(H\left( {\frac{{13}}{2};1} \right)\).
Đúng
Sai
Lời giải
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;3} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 6} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = \left( { - 2} \right) \cdot 0 + 3 \cdot \left( { - 6} \right) = - 18\).
b) \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{ - 18}}{{\sqrt {13} \cdot \sqrt {36} }} = - \frac{{3\sqrt {13} }}{{13}}\).
c) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {DC} = \left( {2 - x; - 2 - y} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;3} \right)\).
Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x = - 2\\ - 2 - y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 5\end{array} \right.\).
Vậy \(D\left( {4; - 5} \right)\).
d) Gọi \(H\left( {x;y} \right)\) là trực tâm tam giác \(ABC\).
Ta có \(\overrightarrow {AH} = \left( {x - 4;y - 1} \right),\overrightarrow {BH} = \left( {x - 2;y - 4} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 6} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 3} \right)\).
Do \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên
\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0\left( {x - 4} \right) - 6\left( {y - 1} \right) = 0\\ - 2\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y - 4} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{13}}{2}\\y = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H\left( {\frac{{13}}{2};1} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Câu 3
a) Điểm \(M\left( {\sqrt {20} ;4} \right) \in \left( H \right)\).
Đúng
Sai
b) Tiêu cự của hypebol bằng 6.
Đúng
Sai
c) Các tiêu điểm của hypebol là \({F_1}\left( { - 6;0} \right);{F_2}\left( {6;0} \right)\).
Đúng
Sai
d) Cho điểm \(A\left( {8;b} \right) \in \left( H \right),b < 0\). Khi đó \(A{F_1} = 5\).
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(I\left( {4;4} \right)\).
B. \(I\left( {2;2} \right)\).
C. \(I\left( {0; - 10} \right)\).
D. \(I\left( {0;10} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 5\).
B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\).
C. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).
D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập