Một người đi xe máy từ \[A\] đến \[B\] cách nhau \[100\,{\rm{km}}\]. Lúc từ \[B\] trở về \[A\], người đó đi với tốc độ nhanh hơn lúc đi là \[10\,{\rm{km/h}}\]. Biết tổng thời gian cả đi và về là \[4\] giờ \[30\] phút. Tính tốc độ của xe máy lúc đi.

a)  Xét tứ giác \[BCEF\] ta có: \[\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \]\[(BE,CF\]là đường cao)

Suy ra tứ giác \[BCEF\]nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].

b) Ta có \[\widehat {ACT} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[(O)\]).

Xét \[\Delta ADB\] và \[\Delta ACT\] ta có:

\[\widehat {ACT} = \widehat {ADB} = 90^\circ \]

\[\widehat {ABD} = \widehat {ATC}\] (cùng chắn cung \[AC\])                   

Do đó  (g.g)                    

Ta có:  (cùng chắn cung \[AC\])

Vì tứ giác \[BCEF\] nội tiếp nên          

  \[ \Rightarrow \]

   \[ \Rightarrow \]                    

c)  Ta có \[\Delta AOC\]cân tại \[O\], \[OM\]là đường trung tuyến nên \[OM\] cũng là đường phân giác, đường cao

Do đó \[\widehat {BAC} = \widehat {MOC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\]

Tương tự \[\widehat {BAC} + \widehat {ACF} = \widehat {MOC} + \widehat {OCM} = 90^\circ \]

Nên \[\widehat {ACF} = \widehat {OCM}\] (1)

Xét tứ giác \[OMIC\]ta có \[\widehat {OMC} = \widehat {OIC} = 90^\circ \]

Suy ta tứ giác \[OMIC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[OC\]

Do đó \[\widehat {OCM} = \widehat {OIM}\] (cùng chắn cung \[OM\]) (2)

Xét tứ giác \[AFIC\] ta có\[\widehat {AFI} = \widehat {AIC} = 90^\circ \]

Suy ta tứ giác \[AFIC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AC\]

Do đó \[\widehat {AIF} = \widehat {ACF}\] (cùng chắn cung \[OM\]) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \[\widehat {AIF} = \widehat {OIM}\]

Do đó hai tia \[IF.\;IM\] trùng nhau.

Vậy ba điểm \[F\,,\,\,M\,,\,\,I\] thẳng hàng.

Tổng chi phí vận hành cho một con tàu được tính gồm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào tốc độ của tàu và được tính \[360\] nghìn đồng/giờ Gọi \[x\,\,{\rm{(km/h)}}\]là tốc độ của tàu \[(x > 0)\]

Theo đề bài ta có \[160 = k{.10^2} \Rightarrow k = 1,6\]

Tổng chi phí trên \[1\] km là

\[T = \frac{{360 + 1,6{x^2}}}{x} = \frac{{360}}{x} + 1,6x \ge \sqrt {\frac{{360}}{x}.1,6x}  = 48\].

Giá trị nhỏ nhất của \[T\] bằng \[48\]khi \[\frac{{360}}{x} = 1,6x\] hay \[x = 15\].

Vậy tổng chi phí vận hành trên \[1\] km là nhỏ nhất là \[48\]nghìn đồng khi tốc độ của tàu \[15\;{\rm{km/h}}\].