(0,5 điểm)

Tổng chi phí vận hành cho một con tàu được tính gồm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào tốc độ của tàu và được tính \[360\] nghìn đồng/giờ . Phần thứ hai tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ của tàu. Biết rằng khi tốc độ của tàu là \[10\]km/h thì phần thứ hai được tính \[160\] nghìn đồng/giờ. Tính tốc độ của tàu để tổng chi phí vận hành trên \[1\] km là nhỏ nhất.

a)  Xét tứ giác \[BCEF\] ta có: \[\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \]\[(BE,CF\]là đường cao)

Suy ra tứ giác \[BCEF\]nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].

b) Ta có \[\widehat {ACT} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[(O)\]).

Xét \[\Delta ADB\] và \[\Delta ACT\] ta có:

\[\widehat {ACT} = \widehat {ADB} = 90^\circ \]

\[\widehat {ABD} = \widehat {ATC}\] (cùng chắn cung \[AC\])                   

Do đó  (g.g)                    

Ta có:  (cùng chắn cung \[AC\])

Vì tứ giác \[BCEF\] nội tiếp nên          

  \[ \Rightarrow \]

   \[ \Rightarrow \]                    

c)  Ta có \[\Delta AOC\]cân tại \[O\], \[OM\]là đường trung tuyến nên \[OM\] cũng là đường phân giác, đường cao

Do đó \[\widehat {BAC} = \widehat {MOC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\]

Tương tự \[\widehat {BAC} + \widehat {ACF} = \widehat {MOC} + \widehat {OCM} = 90^\circ \]

Nên \[\widehat {ACF} = \widehat {OCM}\] (1)

Xét tứ giác \[OMIC\]ta có \[\widehat {OMC} = \widehat {OIC} = 90^\circ \]

Suy ta tứ giác \[OMIC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[OC\]

Do đó \[\widehat {OCM} = \widehat {OIM}\] (cùng chắn cung \[OM\]) (2)

Xét tứ giác \[AFIC\] ta có\[\widehat {AFI} = \widehat {AIC} = 90^\circ \]

Suy ta tứ giác \[AFIC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AC\]

Do đó \[\widehat {AIF} = \widehat {ACF}\] (cùng chắn cung \[OM\]) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \[\widehat {AIF} = \widehat {OIM}\]

Do đó hai tia \[IF.\;IM\] trùng nhau.

Vậy ba điểm \[F\,,\,\,M\,,\,\,I\] thẳng hàng.

Gọi \[x\;{\rm{(km/h)}}\]là tốc độ của xa máy lúc đi (ĐK: \[x\; > 0\])

Tốc độ của xe máy lúc về: \[x\; + 10\] (km/h)                             

Thời gian của xe máy lúc đi: \[\frac{{100}}{x}\] (h)

Thời gian của xe máy lúc về: \[\frac{{100}}{{x + 10}}\](h)                              

4 giờ 30 phút = \[\frac{9}{2}\] giờ

Thời gian cả đi và về là 4 giờ 30 phút nên ta có phương trình:

\[\frac{{100}}{x} + \frac{{100}}{{x + 10}} = \frac{9}{2}\]                                                                  

\[100.2(x + 10) + 100.2x = 9x(x + 10)\]

\[200x + 2000 + 200x = 9{x^2} + 90x\]

\[9{x^2} - 310x - 2000 = 0\]

Giải phương trình ta được: \[{x_1} = 40\;(N);\;{x_2} = \frac{{ - 50}}{9}(L)\]                     

Vậy tốc độ lúc đi của xe máy là 40 km/h.