Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \(d:2x - 2y + 3 = 0\) và \(d':x - y + 3 = 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải 

a) Để tạo đề kiểm tra gồm \(5\) câu hỏi sao cho có đủ ba loại câu hỏi và có đúng \(2\) câu hỏi dễ sẽ có các phương án sau:

- Phương án 1: Đề gồm \(2\) câu hỏi dễ, \(2\) câu trung bình và \(1\) câu khó có \(C_{10}^2.C_6^2.C_4^1 = 2700\) đề.

- Phương án 2: Đề gồm \(2\) câu hỏi dễ, \(3\) câu trung bình có \(C_{10}^2.C_6^3 = 900\) đề.

- Phương án 3: Đề gồm \(2\) câu hỏi dễ, \(1\) câu trung bình và \(2\) câu khó có \(C_{10}^2.C_6^1.C_4^2 = 1620\) đề.

Áp dụng quy tắc cộng có \(2700 + 900 + 1620 = 5220\) đề.

b) Ta có: \(T = C_4^0 + 2C_4^1 + 4C_4^2 + 8C_4^3 + 16C_4^4\)

\( = C_4^0{.1^4} + C_4^1{.1^3}.2 + C_4^2{.1.2^2} + C_4^3{.1.2^3} + C_4^4{.1.2^4}\)

\( = {\left( {1 + 2} \right)^4}\)

\( = {3^4}\)

\( = 81\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {6;\,\,4} \right) = 2\left( {3;2} \right)\)

Khi đó \(\left( {3;\,\,2} \right)\) là một vectơ chỉ phương đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) hay ta có \(\left( {2; - 3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) là:

\(2\left( {x + 2} \right) - 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y + 7 = 0\).

b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\left( d \right):3x - y + 2 = 0\) là \(\left( {3; - 1} \right)\).

Vì đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) song song với đường thẳng \(\left( d \right)\) nên \(\left( {3; - 1} \right)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \Delta  \right)\).

Vì vậy phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\)là:

\(3\left( {x + 2} \right) - \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - y + 7 = 0\).

c) Gọi \(d'\) là đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(AB\) tại điểm \(A\).

Một vectơ pháp tuyến của \(\left( d \right)\) là \(\left( {1;\,\, - 4} \right)\) nên vectơ chỉ phương là \(\left( {4;1} \right)\).

Vì \(d' \bot d\) nên \(\left( {d'} \right)\) nhận \(\left( {4;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến, nên phương trình \(\left( {d'} \right)\) là:

\(4\left( {x + 2} \right) - \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - y + 9 = 0\).

Tọa độ điểm \(M\) cần tìm là giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}4x - y + 9 = 0\\x - 4y + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{{31}}{{15}}\\y =  - \frac{{11}}{{15}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{{31}}{{15}}; - \frac{{11}}{{15}}} \right)\).