An muốn đến nhà Bình chơi. Từ nhà An đến nhà Bình phải đi qua đường Hoàng Diệu có phương trình \(d:2x + y + 5 = 0\). Giả sử nhà An ở vị trí có tọa độ \(A\left( {1; - 3} \right)\), nhà Bình ở vị trí có tọa độ \[B\left( { - 4;2} \right)\]. Gọi điểm \(M\left( {a;b} \right)\) nằm trên đường Hoàng Diệu sao cho An đi từ nhà mình đến nhà Bình và qua \(M\) là đường đi ngắn nhất. Tính \(a + b\).

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 5;4} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow n  = \left( {4;5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(\left( {3;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {4;5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(4\left( {x - 3} \right) + 5\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4x + 5y - 17 = 0\). Chọn B.

Vì \(P \in \Delta \) nên \(P\left( {a;a + 2} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {PM}  = \left( {1 - a; - a - 2} \right);\overrightarrow {PN}  = \left( { - 1 - a;1 - a} \right)\).

Do tam giác \(MNP\) vuông tại \(P\) nên \(\overrightarrow {PM}  \cdot \overrightarrow {PN}  = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {1 - a} \right)\left( { - 1 - a} \right) + \left( { - a - 2} \right)\left( {1 - a} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 1 + {a^2} + a - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow 2{a^2} + a - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a =  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\).

Vì \(a \in \mathbb{Z}\) nên \(a = 1 \Rightarrow b = 3\).

Vậy \(T = 2a + 3b = 11\).

Trả lời: 11.