Một cái cổng được thiết kế dạng parabol có phương trình biểu diễn trong hệ trục tọa độ Oxy là \({\rm{y}} = a{{\rm{x}}^2}\) (với a là hằng số khác 0). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng \({\rm{AB}}\) là \(6\;{\rm{m}}\), chiều cao từ điểm chính giữa cổng đến mặt đất \(OI = 4,5\;{\rm{m}}\).

                          

a) Tìm hệ số \(a\) dựa vào dữ kiện đã cho.

b) Một xe tải có chiều rộng bằng \(2\;{\rm{m}}\), chiều cao bằng \(3,2\;{\rm{m}}\) đi vào chính giữa cổng trên. Hỏi xe tải có đi qua được cổng này mà không chạm vào cổng hay không? Giải thích lý do.

= [\(\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\;\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\) + \(\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}]\;:\frac{{\surd x}}{{\sqrt x  - 1}}\)

= \(\frac{{\sqrt x  - 1 + \;\sqrt x  + 1\;}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\) \(:\frac{{\surd x}}{{\sqrt x  - 1}}\)

= \(\frac{{2\sqrt x \;}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\) \(:\frac{{\surd x}}{{\sqrt x  - 1}}\)

= \(\frac{2}{{\sqrt x  + 1}}\)

Vậy P = \(\frac{2}{{\sqrt x  + 1}}\) với điều kiện \({\rm{x}} > 0,{\rm{x}} \ne 1\).

b)    \(23{\rm{x}}.P = 2025\) (với điều kiện \({\rm{x}} > 0,{\rm{x}} \ne 1\))

\(23x \cdot \frac{2}{{\sqrt x  + 1}} = 2025\)

\(46x = 2025(\sqrt x  + 1)\)

\(46x - 2025\sqrt x  - 2025 = 0\) (*)

\((46\sqrt {\rm{x}}  + 45)(\sqrt {\rm{x}}  - 45) = 0\)

Nên \(46\sqrt x  + 45 = 0\) hoặc \(\sqrt x  - 45 = 0\)

+ \(46\sqrt x  + 45 = 0\) hay \(46\sqrt x  =  - 45\) suy ra \(\sqrt x  = \frac{{ - 45}}{{46}}\) (vô nghiệm)

+ \(\sqrt x  - 45 = 0\) hay \(\sqrt x  = 45\) suy ra\(x = 2025\) (thỏa mãn)

Vậy \(x = 2025\) thì \(23{\rm{x}}.P = 2025\)

Gọi số tiền bác Vĩnh gửi là \({\rm{x}}\) (triệu đồng), \(0 < {\rm{x}} < 900\).

Số tiền bác Phúc gửi là \(900 - {\rm{x}}\) (triệu đồng)

Bác Vĩnh gửi tiết kiệm với lãi suất \(7\)%/năm, tức là số tiền lãi là: \(0,07{\rm{x}}\) (triệu đồng)

Bác Phúc gửi tiết kiệm với lãi suất \(6\)%/năm, tức là số tiền lãi là: \(0,06(900 - {\rm{x)}}\) (triệu đồng)

Vì tổng số tiền lãi mà hai bác nhận được là 60 triệu đồng nên ta có phương trình:

\(0,07{\rm{x}} + 0,06(900 - {\rm{x) = }}60\)

\(0,01x = 6\)

\(x = 600\)(TM).

Vậy số tiền bác Vĩnh gửi là \(600\)triệu đồng, bác Phúc gửi là \(300\)triệu đồng.